Втора производна (неявна функция): оценка на производна

Тук имаме задача от теста по Анализ за напреднали от 2015 г., която гласи да разгледаме кривата, зададена чрез уравнението у^3 – ху = 2. Също така са ни показали, че първата производна на у спрямо х е равно на ето този израз. Намерили са това вместо нас. Отиваме на част c от задачата, като пропуснах частите a и b за целта на настоящия урок. "Изчислете втората производна на у спрямо х в точка от кривата, където х = –1, а у = 1. Спри видеото и провери дали можеш да решиш задачата самостоятелно. Нека сега да го направим заедно. Нека първо да запиша първата производна. dy/dx, производната на у спрямо х, е равна на у/(3у^2 – х). Ако ни интересува втората производна, то тогава искаме да намерим производната спрямо х на двете страни на това уравнение. Нека да направим точно това. Записваме означението за производна в двете страни на уравнението. От лявата страна ще получим втората производна на у спрямо х. Какво обаче ще получим от дясната страна на уравнението? Има много начини да подходим към това. Но за израз като този правилото за намиране производна на частно вероятно е най-добрият начин. Понякога се оплаквам от правилото за намиране производна на частно и казвам, че е просто разновидност на правилото за намиране производна на произведение. Но в ситуации като тази всъщност е доста полезно. Просто следва да си припомним, че това ще бъде равно на производната на числителя спрямо х. Това просто ще бъде производна от у спрямо х, умножено по знаменателя. 3у^2 – х. Минус числителя у, умножен по производната на знаменателя спрямо х. А на какво е равна производната на този знаменател спрямо х? Производната на 3у^2 – х ще бъде равна на производната на 3у^2 спрямо у, което ще бъде равно на 6 по у. Тук просто прилагам правилото за намиране производна на степен. Умножено по производната на у спрямо х. Всичко, което направих, е да намеря производната на ето този член спрямо х. Което е равно на производната на този член спрямо у умножено по производната на у спрямо х. Това следва директно от верижното правило. Минус производната на това спрямо х, което просто ще бъде равно на 1. Всичко това е върху...Спомни си, че сме по средата на правилото за намиране производна на степен. Всичко това върху знаменателя на квадрат. Всичко това върху 3у^2 – х, цялото на квадрат. За наше щастие, от нас се иска да изчислим производната в точка, а не да правим един куп алгебрични преобразувания тук. Може да заявим, че когато... Нека да го направя ето тук. Ще го запиша тук. Когато х е равно на минус 1, а у е равно на 1, то първо, на какво ще бъде равно dy/dx? Производната на у спрямо х. Нека да сляза малко надолу, за да имам повече място. Производната на у спрямо х ще бъде равна на 1 върху 3 по 1 на квадрат, което е равно просто на 3, минус минус 1. Това просто ще бъде равно на плюс 1. Изразът ще е равен на 1/4. Целия този израз ето тук мога да го запиша и да получа производната на у спрямо х. Тя ще бъде равна на... знаем, че това ще бъде равно на 1/4... 1/4 по 3 по 1 на квадрат, което е равно просто на 3, минус минус 1, т.е. получава се плюс 1, след това минус 1. Ще оставя този минус извън скобите. Умножено по 6 по 1 по 1/4. Нека просто да го запиша. 6 по 1 по 1/4 минус 1 и всичко това върху... нека да видим: това ще бъде равно на 3 по у на квадрат. у е 1, така че просто ще бъде равно на 1, 3 минус минус 1, тоест плюс 1 на квадрат. На какво ще бъде равно това? Това е вече въпрос на опростяване. 1/4 по 4, което ще се опрости до 1. И нека да видим, това ще бъде равно на 1 и 1/2 минус 1, което ще бъде равна на 1/2. След това ще получим всичко това върху 16. И накрая това ще бъде равно на... получаваме кратък поздрав тук... това ще бъде равно на 1 минус 1/2, което е равно на 1/2, върху 16, което е същото като 1/32. И сме готови.