Разработен пример: Диференциране на неявна функция

Да се упражним в диференциране на неявни функции. Нека да намерим производната на y спрямо x. Ще предположим, че y е функция на x. Нека да запишем означението за производна d/dx в двете страни на уравнението. Прилагаме правилата за намиране на производна. Първо от лявата страна. Действително просто ще приложим верижното правило. Първо търсим производната спрямо x на (x – y) на квадрат. Верижното правило ни казва, че това ще бъде равно на производната на нещо, което е повдигнато на квадрат, спрямо нещото, което просто ще бъде 2 пъти по (x – y) на първа степен. Няма да записвам единица ето тук. Умножено по производната на нещото спрямо x. Производната на x спрямо x е равна на 1, а производната на y спрямо x, е това, което искаме да намерим от уравнението. Ще бъде равно на 1 – dy/dx. Нека да изясня малко по-добре това, което току-що направих ето тук. Това ето тук е производната на (x – y) на квадрат спрямо (x – y). Спрямо (x – y). А ето това нещо тук е производната на (x – y) спрямо x. Просто прилагаме верижното правило. Нека сега да се прехвърлим към дясната страна на уравнението. Това ще бъде равно на производната на x спрямо x, т.е. е равно на 1. Производната на y спрямо x. Ще запишем това като производната на y спрямо x. И накрая производната спрямо x на константа, което ще бъде равно на нула. Нека сега да проверим, дали може да решим уравнението за производната на y спрямо x. Това е най-очевидното нещо, което може да направим. Нека да го изясним. Това нещо ето тук мога да го запиша като 2x – 2y. Нека да го направя, за да спестя малко място. Това е равно на 2x – 2y, ако просто разкрия скобите и умножа по 2. А сега мога да умножа (2x – 2y) по всеки един от тези членове. 2x – 2y умножено по 1 е просто равно на 2x – 2y. След това 2x – 2y умножено по минус dy/dx, което ще бъде равно на минус (2x – 2y). Можем да го запишем като (2y – 2x) умножено по dy/dx. умножено по dy/dx. И е равно на 1 + dy/dx. Ще направя всички dy/dx в оранжево. 1 + dy/dx Сега има няколко неща, които може да се опитаме да направим. Може да извадим (2x – 2y) от двете страни на уравнението. Нека да го направим. Нека да извадим 2x – 2y от двете страни на уравнението. Ето тук ще извадим 2x – 2y от тази страна на уравнението. След това може също да извадим dy/dx от двете страни на уравнението, така че всички членове dy/dx да останат от лявата страна, а всички членове, които не са dy/dx, да останат от дясната страна. Нека да го направим. Ще извадим dy/dx от дясната страна и dy/dx ето тук от лявата страна. И какво ни остана сега? Какво ни остана сега? От лявата страна на уравнението ето тези се унищожават. Остава (2y – 2x) по dy/dx минус 1 по dy/dx или просто минус dy/dx. Нека да го опростим. Може да запишем ето това като минус 1 по dy/dx. Това означава, че може просто да съберем тези два коефициента. Това се опростява до (2y – 2x) минус 1 по производната на y спрямо x, което ще бъде равно на...От тази страна ето тези се унищожават. Оставаме с 1 минус 2x + 2y Нека да го запиша по следния начин. Или може да го запишем като минус минус 2y, което е просто плюс 2y. След това имаме минус 2x. След това добавяме това 1, плюс 1. А сега, за да решим уравнението за dy/dx, следва просто да разделим двете страни на 2y – 2x – 1. И оставаме просто с...Ето тук заслужаваме поздравления. Както можеш да видиш, най-трудната част беше реално алгебрата, необходима да решим уравнението за dy/dx. Получаваме, че производната на y спрямо x e равна на 2y – 2x + 1 върху 2y – 2x – 1.