If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Правило на Лопитал (съставна експоненциална функция)

Сал използва правилото на Лопитал, за да намери границата в точката x=0 на функцията (sinx)^(1/lnx).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В настоящия урок искам да разгледам една особено интересна за мен задача, която е свързана с граници. Нека да кажем, че искам да намеря границата, когато х клони към 0 от положителна страна, от синус от х. И тук започва да става интересно. Синус от х на степен 1 върху натурален логаритъм от х. Насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ да я решиш самостоятелно, като вземеш предвид, че това е малко подвеждаща задача. Предполагам, че направи опит. Може би дори успя да преминеш първото изпитание. Ще ти споделя, че когато за първи път срещнах подобна задача, не успях да премина първото изпитание, така че определено не се чувствай лошо, ако попадаш в тази втора категория. Това, което вероятно направи, е да си кажеш следното: "Хайде да помисля върху задачата. Нека просто да помисля върху отделните ѝ части тук. Ако мислех за границата... Ако мислех за границата, когато х клони към 0, от положителната страна, от синус от х, то това ще бъде сравнително просто. Ще бъде равна на 0. Така че, може да мислиш за това като за част от задачата. Тази част от израза ще клони към 0 и тогава ще си кажеш следното, т.е. може би ще го направиш... Просто предполагам че е така. "Границата, когато х клони към 0 от положителната страна на 1 върху натурален логаритъм от х, и ето това показва, защо следва да вземем предвид, че е от положителната страна. Няма смисъл да клони към 0 от отрицателната посока. Не може да търсиш натурален логаритъм от отрицателно число. То не принадлежи на дефиниционното множество на натуралния логаритъм. Когато обаче се приближаваш все повече и повече до 0 от отрицателната посока, то при натурален логаритъм от тези стойности означава, че повдигаш числото е на все по-големи и по-големи отрицателни стойности. Знаменателят ще клони към минус безкрайност. 1 върху минус безкрайност, т.е. 1 разделено на супер голямо или огромно отрицателно число, тогава границата просто ще клони към 0. Може да заявиш, че този израз ето тук също ще... Също ще клони към 0. Това не изглежда като да ни помага много, защото ако този израз клони към 0 и този израз също клони към 0, то изводът е, че може би целият израз ще бъде 0 на степен 0, но действително не знаем на какво... Нека да го запиша с този цвят. 0 на степен 0, но това е едно от онези велики и забавни неща в математиката. Има доказателства защо това ще бъде равно на 0, или доказателства защо следва да е равно на 1. Действително не знаем какво да правим с този резултат. Наистина не е задоволителен отговор. В този момент нещо може би минава през ума ти. Разполагаме с нещо, което сме виждали, наречено Правило на Лопитал. Ако не го познаваш, то те насърчавам да изгледаш видеото за запознаване с Правилото на Лопитал. В Правилото на Лопитал... Нека само да го запиша. Правилото на Лопитал ни помага при ситуации, в които когато се опитваме директно да изчислим границата, достигаме до неопределени форми. Например като 0 върху 0, или безкрайност върху безкрайност, или минус безкрайност върху минус безкрайност. Навлизаме в повече детайли в самото видео. Изглежда сякаш това е... Виждаме, че сме получили 0 на степен 0. Сякаш сме се сблъскали със странен звяр, но поне се досещаме за правилото на Лопитал. Няма да бъдеш – както ще видим след няколко секунди – няма да сгрешиш за това, че в ума ти изниква правилото на Лопитал, въпреки, че не можеш да го приложиш директно към този резултат ето тук. Правилото на Лопитал не се прилага, или поне не директно, към израза 0 върху 0. Това, което може да направим, е да използваме задача, в която правилото на Лопитал е приложимо. Тогава ще я използваме, за да намерим на какво ще бъде равна първоначалната граница. Точно това беше подвеждащата част от задачата. Е, какво имам предвид? Ако изберем у да е равно на у от... Нека да го запиша по следния начин. Ако изберем, и аз записвам у, като мога просто да го запиша у, но ще отбележа, че у определено е функция на х. Ако изберем у(х) да бъде равно на синус от х... Синус от х на степен 1 върху натурален логаритъм от х. Този израз ето тук определено означава да намерим границата, когато х клони към 0, от положителната посока на у, и още веднъж, не знаем какво се получава. Може би е 0 на степен 0, но не знаем на какво е равно 0 на степен 0. Това, което може да направим, като това е метод, който виждаш много често и всеки път, когато се сблъскаш със странни неща със степени, или когато търсиш граници или производни, и както ще видиш, често е полезно просто да намериш натурален логаритъм от двете страни на уравнението. Какво ще се получи, ако логаритмуваш и двете страни на уравнението с натурален логаритъм? От лявата страна ще получиш натурален логаритъм, а когато мисля за натурален логаритъм и числото е, по начина, по който мисля за тях, използвам зелен цвят по някаква странна причина. Сега обаче имаме натурален логаритъм от у е равно на... Ако търсиш натурален логаритъм от този израз, всъщност нека просто...Не искам да пропускам стъпки от процеса, защото това е интересно. Това ще бъде натурален логаритъм от целия този израз синус от х... Нека да го запиша по следния начин. Синус от х, синус...Искам да го запиша с този оранжев цвят. Натурален логаритъм от синус от х на степен 1 върху натурален логаритъм от х. Знаем от степените, преди свойствата на логаритмите, че логаритъм от нещо на степен, е равно на същото нещо като степента. 1 върху натурален логаритъм от х по логаритъма, в този случай натурален логаритъм от това, което имаме, т.е. синус от х тук. Синус от х. Или може да кажем натурален логаритъм от у. Искам да запазя, т.е. да използвам същите цветове, поне в още една стъпка. Натурален логаритъм от у е равно на – ако просто го запишем по следния начин – ще бъде равно на натурален логаритъм от синус от х. Натурален логаритъм от синус от х върху натурален логаритъм от х. Е, всичко това е интересно, но защо ни интересува какво ще се получи? Защо направих това? Вместо да мислим на какво е равна границата... На какво е равна границата, когато х клони към 0 от положителната посока на у? Нека да помислим върху това, към какво натурален логаритъм от у клони, когато клоним, т.е. когато х клони към 0 от положителната посока. Нека да намерим границата от този израз ето тук, когато х клони към 0 от положителната посока. На какво е равно натурален логаритъм от у? На какво е равно цялото това нещо? Не функцията у, а към какво клони натурален логаритъм от у? Нека да помислим върху този случай. Нека да запиша, т.е. да направя това с друг цвят. Искаме да намерим на какво е равна границата, когато х клони към 0 от положителната посока, от този израз и просто ще го запиша само с един цвят. Натурален логаритъм от синус от х върху натурален логаритъм от х. Не знам, един път пиша печатно, след това ръкописно. Просто ще бъде последователен тук. Защо това е интересно? Нека да разгледаме числителя, който ще клони към 0. Тоест, получава се натурален логаритъм от 0, което ще клони към минус безкрайност. Този член тук в знаменателя, натурален логаритъм от х – когато х клони към 0 от положителната посока – отново ще клони към минус безкрайност. Това ни дава неопределена форма. Получаваме неопределената форма минус безкрайност върху минус безкрайност, което е добре, защото това ни подсказва, че правилото на Лопитал може би ще е подходящо в този момент. Може да кажем, че това ще бъде равно на граница, когато х клони към 0, от положителната посока. Нека да си осигуря малко повече място, с което да разполагам. Мога да намеря производната на числителя и производната на знаменателя. Производната на числителя, т.е. при производната на числителя ще приложа верижното правило. Производната от синус от х е равна на косинус от х. Следва производната от натурален логаритъм от х спрямо синус от х ще бъде равно на 1 върху синус от х. Това ще бъде върху синус от х. И така, това е производната на числителя. След това търсим производната на знаменателя, която ще бъде равна просто на 1 върху х. 1 върху х. Всичко това ще бъде равно на, ще бъде равно на границата, когато х клони към 0 от положителната посока, или може да запиша това като косинус от х. Косинус от х. Нека да видим, разделям на х. Разделям на х и ще се получи, т.е. това ще бъде равно на х върху синус от х. х върху синус от х. Когато приложа, т.е. когато се опитам да намеря границата тук, ще се получи 0. Още веднъж, получаваме 0 върху 0. Това не изглежда много приятно, но още веднъж, това е където свойствата на границата може да са полезни. Както може да видиш, тази не е от най-обикновените задачи. А това ще бъде равно на същото нещо... А това изисква разпознаване на един и същи модел. Това ще бъде равно на същото нещо като... Защото знаем, че границата от произведението на две функции е равна на произведението от границите на тези функции. Тоест това ще бъде равно на същото нещо като границата, границата, когато х клони към 0 от положителната посока, от ето тази част. Нека да го запиша с различен цвят. Ако вземем тази част... Това не е различен цвят. Ако вземем тази част ето тук, то това ще бъде равно на х върху синус от х и след това умножено по границата – нека да поставя скоби ето тук – по границата... Границата, когато х клони към 0 от положителната посока, от косинус от х. От косинус от х. Сега тази граница ето тук е сравнително ясна. Може просто да я изчислим с х равно на 0 и получаваме 1. Тази граница ето тук е равна на 1. А на какво е равна тази граница? Тук може да се досетиш нещо. Може би си виждал/а граница, когато х клони към нула, от синус от х върху х. Тази граница тук е просто реципрочна стойност на същото нещо. Равна е на х върху синус от х, но ако просто се опиташ директно да я изчислиш, то ще получиш 0 върху 0, така че може да приложиш правилото на Лопитал към тази граница. Още веднъж, това е много интересен случай, в който се намираме. Тази граница ще бъде равна на същото нещо като границата, когато х клони към 0 от положителната посока. Производната в числителя е 0, производната в знаменателя е косинус х. Е, това ще е равно просто на 1 върху косинус от 0 – което е равно на 1. Така че тази граница ще бъде равна на 1. Трябваше да приложим правилото на Лопитал още веднъж и да установим, че тази граница ще бъде равна на 1. 1 по 1 е равно на 1, така че тази граница ето тук е равна на 1. А тази граница ето тук, тази граница ето тук ще бъде равна на... т.е. тази граница ще клони към 1, което означава, че и тази граница ще клони към 1. Какво знаем дотук? Дотук знаем...Ще го запиша с думи. Знаем, че границата от натурален логаритъм от у, границата от натурален логаритъм от у, когато х клони към 0 от положителната посока, е равна на 1. Ако натурален логаритъм от у клони към 1, то към какво клони у? Е, за да клони натурален логаритъм... Още веднъж, ние просто знаем на какво е равна тази граница. Знаем, че е равна на 1, а този израз е равен на натурален логаритъм от у. Сега знаем, че тази граница, границата, когато х клони към 0, от този израз е равна на 1 и е равна на същото нещо като границата, когато х клони към 0 от положителната посока, от натурален логаритъм от у. Тези две граници са еквивалентни и са равни на 1. Натурален логаритъм от у клони към 1, така че ако натурален логаритъм от у клони към... нека да го запиша по следния начин: натурален логаритъм от у клони към 1. А към какво следва да клони функцията у? За да намериш натурален логаритъм от нещо, което клони към 1, то у следва да клони към числото е, защото натурален логаритъм от е е равен на 1. Тогава у следва да клони към числото е и сме готови! Това е нещото, което ни интересува. Искахме да намерим границата от у, а ето това е у, дефинирахме целия този израз като у. Зададохме си въпроса към какво клони у, когато х клони към 0 от положителната посока. И намерихме, че натурален логаритъм от у клони към 1, когато х клони към 0 от положителната посока. Това означава, че у следва да клони към числото е. Това означава, че тази граница ето тук, тази граница ето тук, е равна на числото е, което е просто невероятно! Виждаме, че числото е се появява. Ако изразът съдържа функцията синус от х и разбира се, натурален логаритъм от х, може да очакваш числото е да бъде замесено по някакъв начин. Мисля, че това е наистина очарователна задача.