Анализ на задачи, съдържащи функционално зависими скорости: изрази

Основата b(t) на триъгълник намалява със скорост 13 m/h, a височината h на триъгълника нараства със скорост от 6 m/h. В даден момент t нулево основата е 5 m, а височината е 1 m. Търсим скоростта на изменение на площта А(t). Следователно площта ще бъде функция на t. Каква е скоростта на изменение на площта A(t) на триъгълника в този момент? Това, което ще направим в настоящето упражнение, е вместо директно да го решим, това, което трябва да направим тук, е, да определим различните мерни единици, за различните изрази, след което да помислим, какви данни имаме и какви не. Това действително ще ни подготви да решим тази задача за изменение на скорост. Нека да направим тази първа част. Нека да свържем всеки израз съответно с единиците му. И както винаги, спри видеото, и виж дали можеш да го направиш самостоятелно. Добре, първият e b'(t). Това е скоростта на промяна, с която основата се променя спрямо времето. Ако помислим за b(t), то това е основата. Това ще бъде в метри. Следователно това ще бъде в метри. Ако помислим за b'(t), това ще бъде колко се променя основата спрямо времето. Следователно това ще бъде метри, a ето тук ни го дават като казват, че намалява със скорост 13 m/h, т.е. мерните единици са метра за час. Следователно b'(t) ще бъде метри за час. Функцията A в момент t нулево, като знаем, че А е площта на триъгълника. Всичко измерваме в метри спрямо данните, които са ни дали. Площта ще бъде в квадратни мерни единици, т.е. ще бъде в квадратни метри. Сега за височината в момент t нулево като и двете, основата и височината, са дължини. Ще бъдат измервани в метри. Следователно височината в момент t нулево ще бъде в метри. А ето тук имаме скоростта на изменение на площта спрямо времето. Вече знаем, че площта е в квадратни метри. Но искам да знаем това тук, което ще бъде скоростта на изменение на площта спрямо времето Така че ще бъде количество площ за единица време. А за времето, както можеш да видиш, използваме часове от информацията, която са ни дали. Следователно това ще бъде площ за единица време или квадратни метри за час. Това ще бъде точно тук. Това е площ за единица време. Дължината, която използваме тук, е в метри, а времето е в часове. Добре. Искат от нас да свържем всеки израз със съответната стойност. Колко е основата на триъгълника в момент от време t нулево? Дали ли са ни това? Нека да видим. Казват, че в даден момент, който е t нулево, основата, нека да подчертая това с различен цвят. Основата в даден момент t нулево е 5 метра. Тоест казват ни, че основата в момент t нулево, а основата е функция на времето, в този момент е 5 метра. Тоест това тук е 5 метра. Какво може да кажем за скоростта на изменение на основата спрямо времето? Казват ли ни това? Ами погледни ето тук. Това всъщност е първата част от информацията, която са ни дали. Основата b(t) на триъгълник намалява със скорост от 13 m/h. Скоростта на изменение на основата, това е b'(t), което е равно на db/dt, и ни казват, че намалява със скорост от 13 m/h. Следователно това ще бъде –13 m/h. Тоест скоростта на изменение на основата спрямо времето ще бъде –13. Това са ни го казали. A'(t) е скоростта на изменение на площта в момент t нулево. Дали ли са ни това? Е, питат ни за това. Каква е скоростта на изменение на площта A(t) на триъгълника в този момент? Това всъщност е това, което трябва да намерим, но не са ни го дали. В противен случай няма проблем да го решим. Следователно това тук не е дадено. Всъщност това е нещото, което се опитваме да намерим. И накрая имаме първата производна на височината спрямо времето. Може а я разглеждаш като dh/dt. На какво ще е равна тя? Дават ли ни я? Погледни ето тук. Казват, че височината на триъгълника нараства със скорост 6 m/h. Ако казват, че h(t) нараства, ни дават скоростта на изменение на х спрямо времето, т.е. това е h'(t). И ни казват, че нараства с 6 m/h, така че ще бъде плюс 6 m/h. Следователно това наистина ни го дават. Защо цялото това упражнение е полезно? В момента наистина сме готови да решим задачата. Защото всъщност, ако става дума за кой да е триъгълник, знаем, че площта му е равна на 1/2 от основата по височината, т.е. А = b*h/2. В тази ситуация площта, основата и височината, всички те ще бъдат функция на t, така че може да запишем A(t) = 1/2 * b(t) * h(t) И ако искаме да намерим скоростта на изменение на площта в този момент, т.е. в момента, за който ни питат, това t нулево, тогава трябва да намерим производната на двете страни спрямо t. Производната на лявата страна спрямо t ще бъде A'(t), а на дясната страна ще бъде 1/2 умножено, а тук всъщност ще използваме комбинация от правила, но в действителност тук прилагаме само правилото за произведение. Производната на първата функция спрямо t, това е b'(t) умножено по втората функция. Просто прилагаме правилото за производна на произведение. Прибавяме първата функция b(t), умножена по производната на втората функция спрямо времето. Нуждаем се да намерим не само общ израз, искат от нас да намерим колко е скоростта на изменение на площта, т.е. A'(t) в този момент, който е t нулево. Следователно това, което искаме да намерим, искаме да намерим A'(t нулево). Това ще бъде равно на 1/2 * b'(t нулево) умножено по h(t нулево). Прибавяме b(t нулево) умножено по h'(t нулево). В момента това може да изглежда трудно, ако не разполагахме с много от тази информация. Какво е b'(t нулево)? Дават ни скоростта на изменение на b спрямо времето и изглежда сякаш ще остане –13 m/h. Дали са ни това. Каква е височината h в момент t нулево? Ето тук ни казват. В даден момент основата е 5 m, а основата е 1 m. Така че са ни дали b и h в момент t нулево. Така че това ни е дадено. Това са ни го дали. А каква е скоростта на изменение на височината в момент t нулево? Те ни го казват. Височината на триъгълника нараства със скорост 6 m/h. Така че и това ни казват. Всичко това е дадено, така че трябва просто да го заместим, за да намерим колко е скоростта на изменение на площта в момент t нулево. В този момент.