Въведение във функционалната зависимост между скоростите

Нека да кажем, че разполагаме с басейн с вода и хвърлям един камък в средата на този басейн. Хвърлям камък в средата на басейна. И малко след това една малка вълна, едно вълнение се образува, което се движи радиално навън от мястото, където съм хвърлил камъка. Нека да видим колко добре мога да онагледя задачата. И така, движи се радиално навън. Това е вълната, която се е образувала от хвърлянето на камъка във водата. Образува се една окръжност с център, където първоначално камъкът е паднал във водата. Нека да изберем точно в този момент радиусът на окръжността да е равен на 3 сантиметра. Равен е на 3 сантиметра. Знаем също, че радиусът нараства със скорост от 1 сантиметър на секунда. Радиусът нараства със скорост 1 сантиметър на секунда. Като разполагаме с тези данни, точно сега окръжността от образувалата се вълна има радиус 3 сантиметра. И знаем, че радиусът нараства с 1 сантиметър на секунда. Според даденото в задачата, с каква скорост нараства площта на кръга, ограничен от окръжността? С каква скорост нараства площта на кръга? Интересно. Нека да помислим за това, което знаем и след това какво не знаем, т.е. какво се опитваме да намерим. Ако означим радиуса с r, то знаем, че точно в този момент r е равно на 3 сантиметра. Знаем също на какво е равна скоростта, с която r се променя спрямо времето. Разполагаме и с тази информация ето тук. dr/dt, т.е. скоростта, с която радиусът се променя спрямо времето, е равна на 1 сантиметър на секунда. 1 сантиметър на секунда. Какво трябва да намерим сега? Питат ни, с каква скорост нараства площта на кръга? Следователно трябва да намерим с каква скорост площта на кръга, като А е площта на кръга, как нараства тя? Това е, което трябва да намерим. Това, което може да бъде полезно тук, е ако открием зависимост между площта на кръга и радиуса на окръжността, и може би да намерим производната ѝ спрямо времето. И следва да приложим верижното правило, за да постигнем това. Е, каква е връзката във всеки един момент от време между площта на кръга и радиуса на окръжността? Това е елементарна геометрия. Площта на кръга ще бъде равна на π по радиуса на окръжността на квадрат. Сега искаме да намерим скоростта, с която площта се променя спрямо времето. Защо не намерим производната на двете страни на това уравнение спрямо времето? И нека да си отделя малко повече място. Всъщност, нека просто да запиша отново това, което изтрих. И така, π по r на квадрат. Площта е равна на π по r на квадрат. Ще намеря производната и на двете страни на това уравнение спрямо времето. Производната спрямо времето. Не търся производната спрямо r. Търся производната спрямо времето. От лявата страна точно ето тук, ще търся производната на площта. Всъщност, нека просто да го запиша с този светло зелен цвят. Ще се получи...Ще се получи...Опа! Ще се получи производната на площта спрямо времето от лявата страна на уравнението. А какво се получава от дясната страна? Ако търся производната на константа по нещо, то мога да изключа константата. Ще направя точно това. π по производната спрямо времето на r на квадрат. Нека изясня малко по-добре какво ще направя, т.е. защо прилагам верижното правило. Предполагам, че r е функция на времето. Ако r не беше функция на времето, то тогава площта щеше да бъде функция на времето. Вместо просто да записвам r, нека изрично да го означа като функция на времето. Ще го запиша като r от t. Получава се r от t, което повдигаме на квадрат. И искаме да намерим производната на тази функция спрямо времето. И тук просто следва да приложим верижното правило. Търсим производната на нещо, повдигнато на квадрат, спрямо това нещо. Следователно производната на това нещо, повдигнато на квадрат, спрямо същото нещо, ще бъде равна на 2 по нещото на първа степен. Нека да го изясня. Това е производната на r от t на квадрат, спрямо r от t. Производната на нещо, повдигнато на квадрат, спрямо това нещо. Ако търсех производната на x на квадрат спрямо х, то щях да получа 2х. Ако търсех производната на r от t на квадрат спрямо r от t, то ще се получи 2 по r от t. Но тук не получаваме само производната спрямо времето. Това е просто производната спрямо r от t. За да получим производната, при която радиусът се променя спрямо времето, следва да я умножим по скоростта, с която r от t се променя спрямо времето. На какво е равна скоростта, с която r от t се променя спрямо времето? Може просто да запишем това като dr/dt. Тези изрази са еквивалентни. И, разбира се, имаме π отпред. Искам само да подчертая, че това е просто приложение на верижното правило. Производната на нещо на квадрат спрямо времето ще бъде равна на производната“ на нещото, повдигнато на квадрат, спрямо същото нещо. Тоест това е равно на 2 по нещото, по производната на това нещо спрямо времето. Не мога да подчертая колко е важно това. Това, което направихме тук, е просто приложение на верижното правило. Това е верижното правило. Следователно, получава се, че π, умножено по този израз, е равно на производната от площта спрямо времето. Нека да преработя целия израз, просто за да стане по-ясно. Имаме производната от площта спрямо времето е равно на π по...Всъщност нека да изнеса тази двойка отпред. Равно е на 2 по π по...Сега мога отново да наричам този член просто r. Знаем, че r е функция на t. Така че, просто ще запиша 2π по r по dr/dt. Всъщност, нека да направя r в синьо. 2π по r по dr/dt. dr/dt А сега, кое ни е известно? Знаем на какво е равно r. Знаем, че r точно в дадения момент от време, е равно на 3 сантиметра. Точно сега r е равно на 3 сантиметра. Знаем, че сега dr/dt в този момент е равно на 1 сантиметър на секунда. Знаем, този член е равен на 1 сантиметър на секунда. Тогава на какво ще бъде равно dA/dt? Ще бъде равно на... ще го запиша в същия зелен цвят. 2π по 3 по 1 по – това е в лилаво – по 1 сантиметър на секунда. Нека да се уверим, че сме изразили правилно мерните единици. Имаме сантиметър по сантиметър. Тоест ще бъде равно на сантиметри... Този цвят е твърде тъмен. Ще бъде равно на квадратни сантиметри, т.е. сантиметри по сантиметри, или квадратни сантиметри на секунда, което са точните мерни единици, необходими, за да означим изменението в площта. И така, имаме dA/dt е равно на този израз. Скоростта, с която площта се променя спрямо времето, е равна на 6π. Следователно ще се получи малко повече от 18 квадратни сантиметра на секунда. Точно в този момент. Точно така, 3 по 2π. Тоест 6π квадратни сантиметра на секунда е скоростта, с която площта се променя. И сме готови.