Редовна и алтернативна форма на производната

Нека да помислим как можем да намерим наклона на допирателната към тази крива, която съм начертал в червено, в точката x = a. Вече видяхме това при определението за производна. Може да се опитаме да намерим обща функция, която ни дава наклона на допирателната във всяка точка. Нека да кажем, че имаме произволна точка. Нека да избера произволна точка x ето тук. Тогава това ще бъде точката (x; f(x)). След това можем да изберем някакво x + h. Нека да кажем, че това точно ето тук е точката x + h. И така, тази точка ще бъде (x + h; f(x + h)). Можем да намерим наклона на секущата, която минава през тези две точки. Това ще бъде изменението по вертикалата, което ще е f(x + h) – f(x), върху изменението по хоризонталата, което ще бъде (x + h) – x. (x + h) - x Тези два хикса се унищожават. Следователно това ще бъде наклонът на секущата. Тогава, ако искаме да намерим наклона на допирателната в точката x, следва да намерим границата на този израз, когато h клони към нула. Когато h клони към нула, тази точка се доближава до x. И наклонът на секущата между тези две точки, ще бъде приблизително равен на наклона на допирателната в точка x. Следователно това ето тук бихме казали, че е равно на f'(x). Това все още е функция на x. Вземаме произволна стойност x, където производната е дефинирана. Поставяме я в този израз, какъвто и да се окаже той. Може да е някакъв приятен, опростен алгебричен израз. Тогава ще ти дам число. Например, ако искаше да намериш... можеш да изчислиш това по някакъв начин. Или дори може да го оставиш в този вид. Тогава, ако искаше f'(a), просто ще заместиш a в дефиницията на функцията. И може да кажеш: Това ще бъде границата, когато h клони към нула – на всяко място, където има x, го заместваш с a. f от... ще оставя този цвят засега – f(празно + h) минус f(празно), Всичко това е върху h. Оставих тези места празни, така че да мога да запиша a в червено. Забележи, че на всяко място, където преди имах x, сега стои a. Това е производната, изчислена за a. Това е един от начините да намериш наклона на допирателната, когато x = a. Друг начин, който често се използва като алтернативна форма на производната, ще бъде да го направиш директно. И така, това е точката (a; f(a)). Нека просто да изберем друга произволна точка някъде. Нека да кажем, че това е стойността x. Тази точка точно ето тук върху функцията, ще бъде (x; f(x)). И така, какъв е наклонът на секущата между тези две точки? Е, ще бъде изменението по вертикалата, което ще бъде f(x) – f(a), върху изменението по хоризонтаталата, т.е. върху x – a. Нека да направя това с този лилав цвят. Върху x – a. А сега, как бихме могли да получим по- добро и по-добро приближение за наклона на допирателната? Можем да намерим границата, когато x клони към a. Когато x се доближава все повече и повече до a, наклонът на секущата все по-добре и по-добре и по-добре ще се приближава до наклона на допирателната. Ето тази допирателна, която имам в червено тук. Бихме искали да намерим границата, когато x клони към a. Във всеки от двата случая правим абсолютно същото нещо. Имаме израз за наклона на секуща. След това избираме тези стойности на x все по-близо и по-близо. Наклонът на тези секуща повече и по-добре и по-добре се доближава до наклона на допирателната. И при границата това става наклонът на допирателната. Това е определението за производната. Така че това е по-стандартно определение за производната. Ще ти даде производната като функция на x. Тогава можеш да поставиш своята конкретна стойност за x. Или можеш да използваш алтернативния вид на производната. Ако знаеш това, просто търся да намеря производната точно в точка а. Не се нуждая от обща функция f. Тогава може да направиш това. Но и двете изпълняват едно и също нещо.