If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:15:43

Видео транскрипция

За първи път се срещаме с идеята за наклон на права по време на заниманията ни с алгебра, но предполагам, че никога не пречи да я преговорим малко. Нека да начертая една координатна система. Това е моята ос y. Може би следва да я нарека моята f(x) ос. y = f(x). Нека да начертая моята ос x просто ето така. Това е моята ос x. И нека да начертая права. Нека да начертая една ето така. А това, което искам да направим, е да си припомним как намираме наклона на тази права. Това, което правим, е да вземем две точки от правата. Нека да кажем, че вземаме тази точка ето тук. Нека това да е точката x = a. А тогава какво ще бъде ето това? Това ще бъде точката f(a), където графиката на функцията ще бъде някаква права. Може да напишем, че f(x) = mx + b. Не знаем на какво са равни m и b, но всичко това е просто малко преговор. И така, това е a. Тогава стойността y е това, което се случва с функцията, когато я изчислим за точка a, така че това е точката ето тук. След това може да вземем друга точка от правата. Нека да кажем, че вземаме точка b ето тук. Тогава тази координата тук горе ще бъде точката (b; f(b)). Вярно ли е? Защото това е просто точката, за която изчисляваме функцията за b. Поставяш b ето тук и ще получиш ето тази точка тук. Нека да начертая една малка права точно там. И така, това е f(b) точно там. Нека да поясня, че тази координата е точно точката (a; f(a)). Как намираме наклона между тези две точки, или въобще наклона на правата? Защото наклонът е постоянен за цялата права. А ние знаем, че след като намерим наклона, то той ще бъде стойността на това m. Това е преговор на изучаваното по алгебра, но как се прави? Ето няколко начина да мислиш за това. Наклонът е равен на изкачването върху изместването. Вероятно това е изучавано първо по алгебра. Друг начин да се запише, е като изменение за y върху изменение за x, т.е. ∆y/∆x. Нека да намерим какво ще е ∆y/∆x за този конкретен случай. На какво е равно ∆y? Нека просто да вземем, т.е. можеш да вземеш ето тази точка за начална, или ето тази за начална. Но поради това, че тази има по-голям x и по-голям y, нека да започнем с нея. И така, изменението ∆y между тази точка и тази точка е това разстояние ето тук. Нека да начертая един малък правоъгълен триъгълник. Това разстояние точно тук е ∆y. Мога просто да го нанеса на оста y. Това е изменението ∆y. Това е твоето изменение ∆y, т.е. ето това разстояние. На колко е равно това разстояние? На f(b) – f(a). Следователно ∆y = f(b) – f(a). Това е твоето изменение ∆y. А какво е изменението ∆x? Наклонът е равен на ∆y/∆x. Тогава на какво е равно ∆x? Какво е ето това разстояние? Припомни си, че вземаме ето това да бъде началната точка, така че вземаме нейния y минус y на другата точка. За постоянство следва да вземем x на ето тази точка минус x на тази точка. x координатата на тази точка е b. Следователно ще бъде b – a. И просто ето така, ако знаеше уравнението на тази права, или ако имаше координатите на тези две точки, просто щеше да ги поставиш ето тук и получаваш наклона. Това е разбираемо. И това идва директно от курса по Алгебра 1. И просто, за да се уверя, че това е ясно за теб, ако това беше точка (2; 3), а това тук горе, да кажем беше точка (5; 7). Тогава, ако искахме да намерим наклона на тази права, щяхме да вземем 7 – 3, което щеше да е ∆y. Това ще е 7, а това 3, и тогава поставяме това върху 5 – 2. Защото това щеше да е 5, а това 2, и тогава това ще бъде изменението ∆x. 5 – 2 И така, 7 – 3 = 4, а 5 – 2 = 3. Следователно наклонът ще бъде 4/3. Сега нека да видим дали може да обобщим това. И това е новата концепция, която ще изучаваме, когато навлезем в анализа. Нека да видим дали някак може да обобщим това за крива. Нека да кажем, че имам дадена крива. Трябва да имаме крива, преди да можем да го обобщим за крива. Нека да сляза малко по-надолу. Всъщност искам да оставя това тук, за да ти покажа какво е подобното. Нека да кажем, че имам...Всъщност ще се придържам към общия случай сега. Нека да кажем, че имам крива. Ще я направя да изглежда като позната крива. Нека да кажем че това е кривата y = x^2, която изглежда като нещо такова. И искам да намеря наклона, нека да кажем че търся наклона в дадена точка. И всъщност, преди въобще да говорим за това, помисли, какво означава да намериш наклон на крива. Тук наклонът беше постоянен през цялото време, нали? Но при кривата наклонът се променя. И просто за да видиш логиката, какво означава това, какъв наклонът ето тук? Наклонът ето тук е наклонът на допирателната. Правата просто я допира. Ето това тук е наклонът. Това е отрицателен наклон. Тогава ето тук наклонът все още е отрицателен, но е по-малко отрицателен. Изглежда по този начин. Не знам дали го направих, т.е. дали го начертах. Нека да го направя в различен цвят. Нека да го направя в лилаво. Ето тук наклонът е малко по-малко отрицателен. Малко по-малко върви надолу тази права. Тогава, когато стигнеш ето тук, в точката 0, точно тук наклонът е доста плосък, поради това, че хоризонталната права y = 0, е допирателна към кривата. След това, когато отиваш към все повече положителни стойности за x, наклонът започва да нараства. Опитвам се да начертая допирателна. А тук нараства дори повече. Нараснал е дори още повече. Така че твоят наклон се променя през цялото време, а това е голямата промяна, която се получава, когато преминем от права към крива. При една права наклонът е еднакъв през цялото време. Можеш да вземеш които и да са две точки от правата. Вземаш отношението ∆y/∆x и получаваш наклона за цялата права. Но както вече можеш да видиш, наклонът ще бъде малко по-различен, когато го намираш за крива. Защото зависи за коя точка го търсим. Не можем просто да кажем: Какъв е наклонът за тази крива? Наклонът е различен във всяка точка от кривата. Променя се. Ако стигнем ето тук горе, той е дори още по-стръмен. Ще изглежда като нещо такова. Нека да опитаме един малък експеримент. Знам какъв е резултатът от този експеримент, така че рискът няма да е голям. Нека да направя по-хубав чертеж. И така, това е моята ос y, а това е моята ос x. Нека да наречем това.. Можем да го наречем y, или може да го наречем ос f(x). Може и по двата начина. Нека отново да начертая кривата. И просто ще я начертая в положителни координати ето така. Това е моята крива. Какво ще стане, ако искам да намеря наклона ето тук? Какво мога да направя? Основавайки се на определението за наклон, имаме нужда от две точки, за да намерим наклона, нали така? Ето тук, не знам как да намеря наклона с една точка. Така че нека просто да означа тази точка. Tова ще бъде x. Ще се придържаме към общ случай. Това ще е нашата точка x. За да намерим наклона обаче, като се основаваме на традиционното определение от Алгебра 1, имаме нужда от две точки. Нека да вземем друга точка тук. Нека да вземем малко по-голяма версия на това x. Нека да кажем, че искаме да вземем... или дори нека да я вземем още по-далечна, з а да е по-прегледно. Да кажем, че имаме ето тази точка тук. И разликата е, че е просто с h по-голяма от x. Вместо обаче да казваме с h по-голяма, нека просто за момента да кажем, че е с h по-голяма. Ще я означим с (x + h). Това е, което е точката точно там. Какви ще бъдат съответните им y координати от кривата? Това е кривата y = f(x). Следователно тази точка ето тук ще бъде функция от нашата конкретна точка x тук. И за да покажа, че вземам точно тази конкретна точка x, нека да поставя един долен индекс нула тук. Това е x0 (x нулево), а това е x0 + h. Това е f(x0). А тогава какво ще бъде ето това тук? Това тук или ето тази точка тук горе? y координата ѝ ще бъде функция от тази x координата, която разместих малко. Тя е точно ето тук. f от тази x координата, която е f(x0 + h). Това е нейната y координата. Какъв ще бъде наклонът между тези две точки, които са относително близо една до друга? Припомни си, че това няма да бъде наклона просто в тази точка. Това е наклонът на правата между тези две точки. И ако искаме всъщност да я начертаем, ще бъде секуща към кривата. Следователно ще пресича кривата два пъти. Веднъж в тази точка и веднъж в тази точка. Можеш да я видиш. Ако я направя малко увеличена, би изглеждала като нещо такова. Ще изглежда като нещо подобно. Това са нашите координати (x0; f(x0)), а тук горе са координатите на тази точка, които ще бъдат съответно (x0 + h) за x координатата, а y координата ще бъде f(x0 + h). Просто каквато и да е тази функция, я изчисляваме за тази x координата. Това е всичко. И така, това са двете точки. Може би е добър старт да попитаме какъв е наклонът на тази секуща? И точно както направихме в предния пример, намираш изменението за y ∆y и го разделяш на изменението за x ∆x. Нека да го начертая ето тук. ∆y ще бъде ето това тук, а ∆x ще бъде това точно тук. Какъв ще бъде наклонът на секущата? Ще бъде равен на... Нека да започнем с тази точка ето тук горе. Просто защото изглежда по-голяма. Искаме да получим ∆y, така че ето тази стойност тук. Тази стойност y е равна на f(x0 + h). Просто направих изчисление за тази точка тук горе. Изглежда като някакво хрумване, но всичко, което означава, е следното. Малко по-голям x и съответната y координата. Тоест там където е кривата за тази стойност на x. Следователно това, или изменението ∆y, ще бъде равно на f(x0 + h). Това е просто y координатата тук горе. Минус тази y координата ето тук. Тоест минус f(x0). Това се равнява на нашето изменение ∆y. А ти искаш да разделиш това на изменението ∆x. Искаш да разделиш това на изменението ∆x. Тогава какво е ето това? Това е по-голямата стойност за x. Започнахме с тази координата, така че започваме със съответната ѝ x координата. И така, това е (x0 + h). Минус тази x координата. Е, просто избрахме произволно число. То е x0. Ето това е върху изменението ∆x. Ето така. Това е наклонът на секущата. Все още не сме отговорили какъв е наклонът точно в тази точка, но може би това ще ни помогне да стигнем дотам. Ако опростим това...Нека да го запиша по следния начин. Наклонът на секущата... нека да го запиша подходящо. Наклонът на секущата е равен на стойността на функцията в тази точка f(x0 + h) минус стойността на функцията тук, т.е. минус f(x0). Това ни казва просто колко е изменението ∆y. Това е точно същата дефиниция за наклон, която винаги сме използвали. Върху изменението ∆x. Можем да опростим това. Имаме x0 + h – x0. x0 и – x0 се съкращават, така че остава върху h. Следователно това е равно на ∆y/∆x. Дотук добре. Но започнах като казах, че искам да намеря наклона на правата в тази точка, т.е. в тази точка, точно тук. Това е увеличена нейна версия . Така че какво мога да направя? Ето тук дефинирах втора точка, точно както първата, плюс някаква стойност h. И имаме нещо в своя инструментариум, което се нарича граница. Това h е просто произволно число. Може да е 10, може да е 2, може да е 0,02, може да е 1, умножено по 10 на степен –100. Може да бъде произволно малко число. Какво се случва или какво би се случило, поне теоретично, ако исках да намеря границата, когато h клони към 0? Може би h е това относително голямо число ето тук и тогава, ако избера да е малко по-малко, то ще мога да намеря наклона на тази секуща. Ако избера h да бъде дори още по-малко, ще търся наклона на тази секуща. Ако h e още малко по-малко, ще намеря наклона на тази права. Когато h клони към 0, ще се приближавам все по-близо и по-близо до намиране наклона на правата точно в точката, която търся. Очевидно, ако h е голямо число, секущата ще бъде много далеч от наклона точно в тази точка там. Но ако h = 0,0000001, ако е безкрайно малко число, то тогава се приближавам много близо. Какво се получава, ако търся границата, когато h клони към нула? Границата, когато h клони към 0 за наклона на моята секуща. Нека да премина към зелен цвят. f(x0 + h) – f(x0), това беше изменението ∆y върху h, което е изменението ∆x. Сега, нека просто да изясня нещо, което понякога ще виждаш в различни книги по анализ. Понякога вместо h, тук ще пише ∆x (делта x). Тогава тази втора точка ще бъде дефинирана като x0 + ∆x, и тогава това ще се опрости до ∆x ето там. И просто ще търсим границата, когато ∆x клони към 0. Точно същото нещо. h, ∆x, няма значение. Приемаме h като разликата между x за една точка и точка с по-голяма координата x, и просто търсим границата, когато това клони към 0. Можехме да наречем това ∆x за по-лесно. Но ще нарека това нещо, което е равно на наклона на допирателната, т.е. това е равно на наклона на допирателната. Ще го нарека производната на f. Нека да запиша това. Производната на f. И ще кажа, че това е равно на f'(x). Това ще бъде друга функция. Защото спомни си, че наклонът се променя за всяка стойност x. Без значение каква стойност за x избереш, наклонът ще бъде различен. Не е задължително да бъде, но по начина, по който начертах кривата, е различен. Може да бъде различен. Сега, когато ми дадеш стойност x тук, ще приложа тази формула тук и тогава мога да намеря наклона в тази точка. Всичко изглежда много объркващо и може би абстрактно в момента. В следващия урок ще реша пример за изчисление на наклон и ще направя всичко малко по-конкретно.