Производните на x² at x=3 чрез формалната дефиниция

В предния урок се опитахме да намерим наклона в точка или наклона на кривата в дадена точка. И го направихме като казахме: "Добре, нека да намерим наклона между тази точка и друга точка, която не е много далеч от нея. И получихме наклона на секущата. Всичко изглежда фантастично, но това е просто стойността на точката, която не е твърде далеч, а това е просто стойността y на въпросната точка, така че това е просто изменението за y. След това разделяш това на изменението за x. В примера, който решихме, h беше разликата между нашите две стойности за x. Ето това разстояние беше h. И това ни даде наклона на тази права. Попитахме: "Какво ще се получи, ако намерим границата, когато тази точка точно тук отива все по-близо и по-близо до тази точка?" Ако тази точка действително почти стане тази точка, то нашият наклон ще бъде наклонът на допирателната. И дефинираме това като производната на нашата функция. Казахме, че това е равно на f'(x). Нека опитаме да приложим това в настоящия урок и може би нещата ще се подредят малко повече в главата ти. Нека да реша един пример. Първо ще реша конкретен случай, където искам да намеря наклона в точно определена точка. Нека отново да начертая осите. Нека да начертая някакви оси точно там. Нека да кажем, че имам кривата... Това е кривата y = x^2. Това е моята ос y, това е моята ос x. Искам да знам наклона в тази точка, за която x = 3. Когато казвам наклона, можеш д а си представиш допирателна тук. Можеш да си представиш допирателна, която прави ето така, и просто едва ще закачи кривата в тази точка. Но какъв е наклонът на допирателната? Какъв е наклонът на допирателната, която е същата като наклона на кривата в тази точка? За да го направя, всъщност ще приложа точно тази техника, която приложихме и преди. След това ще я обобщим, така че да не се налага да го правиш всеки път за дадено число. И така, нека да изберем една друга точка тук. Нека да я наречем 3 + ∆x (изменението). Сменям означението, защото в някои учебници ще видиш h, в други ще видиш ∆x. Не пречи да познаваш и двете. И така, това е 3 + ∆x. Първо, каква е тази точка тук? Това е крива y = x^2, т.е. f от x = 3, повдигнато на квадрат – това е точката 9. Ето това тук е точката (3; 9). А каква е ето тази точка тук? Ако трябваше да изминем целия този път до тук, тогава каква е точката? Е, тук нашето x е (3 + ∆x). Това e същото като това ето тук, т.е. като x0+ h. Можех много лесно да нарека това и (3 + h). И така, това там горе е 3 +∆x. Каква ще бъде стойността y? Каквато и да е стойността x, понеже лежи върху кривата, тя ще бъде повдигната на квадрат. Тоест ще бъде точката (3 + ∆x)^2. Нека да намерим наклона на тази секуща. Да намерим наклона на тази секуща. И нека малко да увелича изображението, защото може да помогне. Ако увелича просто ето тази част от кривата, би могла да изглежда ето така. Тогава имаме една точка тук, а след това имам другата ето тук горе. Мога да начертая това. Това е секущата. Секуща. Ето това е. Тази точка тук беше (3; 9). А тази точка тук горе е 3 + ∆x, просто някакво число, което е по-голямо от 3. След него стои това число, повдигнато на квадрат. Тоест ще бъде (3 + ∆x)^2. На колко е равно? Това ще бъде 9. Просто обяснявам това, или с други думи прилагаш разпределителното свойство два пъти. (a + b)^2 е равно на a^2 + 2ab + b^2, така че ще бъде 9 плюс два пъти произведението на тези неща. Следователно 6∆x, а след това плюс ∆x^2. Плюс ∆x^2. Това са координатите на втората точка. Това изглежда сложно, но просто взех тази стойност x и я повдигнах на квадрат, защото е от кривата y = x^2. И така, наклонът на тази права, т.е. на секущата, ще бъде изменението за y, разделено на изменението за x. Изменението ∆y ще бъде стойността y на тази точка, което е 9 + 6∆x + ∆x^2, т.е. y на тази точка минус стойността за y на тази точка. Ще го направя в зелено. Тоест минус 9. Това е ∆y. И искаш да разделиш това на изменението ∆x. На какво е равно ∆x? Това ще бъде сравнително удобно. Тази по-голяма стойност на x – започнахме с тази точка отгоре, така че следва да започнем с нея и отдолу – следователно ще бъде 3 + ∆x. А каква е тази стойност x? Получава се минус 3. Това е стойността x на другата точка. До какво се опростява това? Числителят... това 9 и това 9 се унищожават. Имаме 9 – 9. А какво се случва в знаменателя? Това 3 и –3 се унищожават. Следователно изменението на х всъщност накрая остава ∆x, което има смисъл, защото това ∆x е всъщност колко повече е x на тази точка спрямо тази. Тоест това следва да е изменението по x, т.е. ∆x. Следователно наклонът на моята секуща, се опрости до 6∆x + ∆x^2, и всичко това върху изменението ∆x. Сега можем да опростим това дори повече. Нека да разделим числителя и знаменателя на нашето изменение ∆x. Ще сменя цветовете просто за да не е монотонно. И така, наклонът на моята допирателна, или на моята секуща, която минава през тези две точки, ще получим като разделим числителя и знаменателя. Това става 6. Просто разделям числителя и знаменателя на ∆x. Тоест това е 6 + ∆x. Следователно това е наклонът на тази секуща. Наклонът е равен на 6 + ∆x. Това е ето този тук. Това е тази червеникава права, която начертах точно там. За това число тук, ако ∆x беше 1, а тези точки бяха 3 и 4, тогава моят наклон щеше да бъде 6 + 1, защото избирам точка 4, където ∆x тук следва да бъде 1. Следователно наклонът ще бъде 7. Имаме обща формула. Независимо какво е моето ∆x, мога да намеря наклона между 3 и 3 + ∆x. Между тези две точки. Сега искахме да намерим наклона точно в тази точка там. Нека да видим какво се случва, когато ∆x става все по-малка и по-малка стойност. Това е на какво е равно ∆x сега. Това е ето това разстояние. Ако ∆x обаче става все по-малка и по-малка стойност, тогава секущата ще изглежда като нещо такова. Ако стане още по-малка, секущата ще изглежда ето така. Става дори още по малка. Тогава се доближаваме сравнително близо до наклона на допирателната. Допирателната е това нещо тук, чийто наклон искам да намеря. Нека да намерим границата, когато нашето ∆x клони към нула. Границата, когато ∆x клони към 0, е наклонът на секущата, което е 6 + ∆x. И на какво е равно това? Това е сравнително директно. Можеш просто да избереш това да е 0 и получаваш 6. Наклона на допирателната в точката x = 3 точно тук, е равен на 6. Има и друг начин, по който бихме могли да запишем това, ако сме избрали f(x) да е равно на x^2. Знаем, че производната или наклона на допирателната, към тази функция, в точката 3... просто го изчислих само в точката 3 тук... е равен на 6. Все още не съм достигнал до обобщена формула за наклона на тази права във всяка точка, но ще го направя в следващия урок.