Разработен пример: Производната от изразът с границите

Другият вид на производната на функция f, за число а, означена като f'(a), е дадена чрез този израз. Това сега може да ти изглежда малко странно, но ако наистина помислиш върху това, което казват, просто представлява наклона на допирателната в точката (a; f(a)). Нека да си представим произволна функция като тази. Нека да кажем, че е това. Просто ще напиша, че това е нашата функция f. И така, може да имаш точка, където x = a. Това е нашата ос x, а там където x = a, то това е точката (a; f(a)). Забелязваш (a; f(a)). След това можем да вземем наклона между тази и друга произволна точка, която ще наречем x. И така, това е точката (x; f(x)). Забележи числителя ето тук. Това е просто изменението в стойността на функцията. Или може да гледаш на него като изменение по вертикалната ос. А това ще ти даде разстоянието точно ето тук. Това е, което се случва тук в числителя. След това в знаменателя търсим изменението за хоризонталните стойности, т.е. в хоризонталните координати. Нека да го направя с различен цвят. Това ще ти даде... Изменението по хоризонталата е ето това тук. След това се опитват да намерят границата, когато x клони към a. Когато x се приближава все повече и повече до а, това, което се случва, е, че когато x е тук, имаме тази секуща. Намираме наклона на тази секуща. Когато обаче x се приближава все повече до a, то секущата все по-добре и по-добре се доближава до наклона на допирателната. Там където е границата, когато x клони към a, но не е точно равно на a, това всъщност ще бъде нашето определение за производна. Или другият (алтернативният) вид на определението за производна. Това ще бъде наклонът на допирателната, ако тя съществува. И така, с това, което открихме дотук, нека да се опитаме да отговорим на поставения въпрос. С помощта на другия вид на производната има смисъл от следния израз за граница, като определим функцията f и числото a. И така, ето тук, искат от нас да намерим наклона на допирателната в точката x = 5. Тук искаха да намерим наклона на допирателната в точка a. Сега е ясно, че точката a = 5. И, че f(a) = 125. А какво става с f(x)? Е, ето тук имаме границата за f(x) – f(a). Ето тук е границата, дадена като x^3 – 125. И това има смисъл. Ако f(x) = x^3, тогава е логично, че f(5) = 5^3, което ще бъде 125. А ето тук също търсим границата, когато x клони към a. Тук имаме границата, когато x клони към 5. Следователно това е производната на функцията f(x) и е равна на x^3. Нека да запиша това отдолу със зелен цвят. x^3 за числото a, което е равно на 5. И така, може да си представим това. Нека да се опитаме да го начертаем, просто за да си го представим. Ще го направя ето тук, където имам малко по-добър контраст на цветовете. Нека да кажем, че това е моята ос y. Да кажем, че това е моята ос x. Няма да я начертая точно в мащаб. Нека да кажем, че това ето тук е числото 125. Или y, т.е. това е, когато y = 125. Това е, когато x = 5, така че определено не са в един и същ мащаб. Функцията обаче ще изглежда като нещо такова. Знаем как изглежда x^3. Изглежда като нещо такова. Ще изглежда като нещо такова. Ето тук нашето a = 5. Тази точка ето тук е (5; 125). След това намираме наклона между тази точка и друга произволна стойност за x. Или трябва да кажа друга произволна точка от кривата. Това точно ето тук ще бъде точката, бихме могли да я наречем (x; x^3). Знаем, че f(x) = x^3. Нека да изясня нещо. Това е графика на y = x^3. Следователно този израз точно ето тук, т.е. всичко това, е наклонът между тези две точки. Това е наклонът между тези две точки. И търсим границата за x, клонящо към 5, така че сега това е нашето x, и, когато се приближава все повече и повече до 5, секущите линии все по-добре и по-добре ще се доближават до наклона на допирателната, когато x = 5. Следователно наклонът на допирателната ще изглежда като нещо такова.