Разработен пример: Производната като граница

Нека да кажем, че f(x) = ln(x) (натурален логаритъм), и искаме да намерим какъв е наклонът на допирателната към кривата f, когато x е равно на числото е. Когато x = е. Ето тук, x е равно на числото e. Точката (е; 1) лежи на кривата. f(e) = 1 Натурален логаритъм от числото 'e' е 1. Означил съм наклона на допирателната, т.е. начертал съм допирателната. И искаме да намерим какъв е нейният наклон, или поне да достигнем до израз за него. За да достигна до такъв израз, ще използвам и основния, и другият вид на определението. Това ще ни позволи да направим едно малко сравнение. Нека да помислим първо за основното определение. Основното определение изисква от нас да намерим израз за производната на нашата функция за всяко x. Нека да кажем, че това е някаква произволна стойност за x ето тук. Това ще бъде точката (x; f(x)). И нека да кажем, или да наречем това x + h. Това разстояние ето тук ще бъде равно на h. Това ето тук ще бъде точката (x + h; f(x + h)). Цялата основна идея на основното определение за граници е да може да намираш наклона на секущата, между тези две точки, като намериш границата, когато h клони към нула. Когато h се доближава все повече и повече, ето тази синя точка ще бъде все по-близо и по-близо до x. А тази точка ще се доближава до нея върху кривата. И секущата ще се превръща във все по-добро приближение на допирателната в точка x. Нека да направим това. И така, какъв е наклонът на секущата? Представлява изменението по вертикалната ос, което ще бъде f(x + h) – f(x), върху изменението по хоризонталната ос. А това е (x + h) – x. И виждаме, че разликата е просто h. Тоест върху h. И ще търсим границата на това, когато h клони към нула. В случая, когато f(x) = ln(x), това ще се сведе до границата, когато h клони към нула. A f(x + h) е равно на ln(x + h) и минус ln(x). Всичко това е върху h. Всичко това е върху h. И така, това ето тук за нашата конкретна стойност f(x), ще бъде равно на f'(x). Ако искахме да изчислим това, когато x = e, тогава навсякъде, където виждаме x, просто трябва да го заменим с числото e. Това всъщност е представяне на производната като функция на x. Това е вид щуро изглеждаща функция на x. Ето тук имаш граница и това е всичко. Но на всяко място, където виждаш x, като при всяко определение за функция, сега можеш да го заместиш с числото e. Добре можем да... Нека да го направя. Опа! Изгубих екрана си. Ето го отново. Можем да запишем, че f'(e) е равно на границата, когато h клони към нула, от натурален логаритъм. Нека да го направя в същия цвят, за да можем да следим нещата. ln(e + h), а това ще го оставя празно засега, минус ln(e). Всичко това е върху h. Всичко това е върху h. Ето така. Това точно ето тук, ако изчислим тази граница, т.е. ако можем да я намерим – а действително можем – ако можем да изчислим тази граница, това ще ни даде наклона на допирателната, когато x = е. Това е чрез използване на основното определение. Сега нека да използваме другото определение. Другото определение се използва, ако не искаш да намираш общ вид на производната, изразена като функция на x, като ето това, а искаш да намериш наклона в дадена точка. Другото определение може би просто прави точно това. Това, което казват, е: Нека да си представим някаква друга стойност x тук. Нека да си представим някаква друга стойност x. Това ето тук е точката... Може да кажем, че е (x; f(x)) или може просто да кажем (x; ln(x)). Какъв е наклонът на секущата между тези две точки? Какъв е наклонът на секущата между тези две точки? Това ще бъде изменението за стойностите y. Ще бъде ln(x) – 1, нека да го направя в червен цвят, и върху изменението за x. Тоест това е x – e. x – e Ето това е наклонът на секущата между тези две точки. Какво ще стане ако искаш да го намериш за допирателната? Е, тогава просто ще намерим границата, когато x клони към числото e. Когато x се приближава все по-близо и по-близо, тези точки ще стават все по-близки и по-близки, и секущата все повече ще се приближава до допирателната. Следователно просто ще намерим границата, когато x клони към e. Един от двата начина. Този използва основното определение за граница. Нека да изясня, че това h не принадлежи на него. Можем да решим задачата, като използваме основното определение, или другото определение за производната.