If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:10

Видео транскрипция

В това видео искам да разгледаме няколко примера, за да проверим разбирането ни за производната като скорост на изменение или стръмност на крива или наклона на крива, или наклон на допирателна към крива, в зависимост от това как точно искаш да мислиш за нея. Тук имаме f прим от 5, f'(5). Това записване с прим е друг начин да се каже, че се търси производната. Нека пресметнем производната на нашата функция за x = 5. И когато кажем f прим от 5, f'(5), това е наклонът, наклонът на допирателната в x = 5, или може да си го представиш като... може да си го представиш като скоростта на изменение на y по отношение на x, което е точно нашата дефиниция за наклон, по отношение на x на нашата функция f. Нека помислим малко за това. Виждаме, че е зададена точката (5; f(5)), ето тук, и ако искаме да пресметнем наклона на допирателната, да пресметнем колко е стръмна тази крива, може да начертаем права, която да е допирателна в тази точка. Нека видим дали ще мога да се справя с това. Ако начертая права, започваща от тук, и искам тя да е допирателна, мисля че трябва да бъде нещо такова. Точно в тази точка разглеждаме стръмността на кривата, а това, което го прави интересно и нелинейно, е че стръмността се изменя постоянно. Тук тя е по-ниска, а насам става все по-стръмна и по-стръмна, придвижвайки се надясно, за по-големи и по-големи стойности на x. Но ако погледнем във въпросната точка, когато x = 5, спомни си f'(5), ако трябваше да я пресметнеш, резултатът би бил този наклон на правата тук. А наклонът на тази права показва, че с всяка стъпка по посока на увеличаване на x, графиката се предвижва с две стъпки по посока на увеличаване на y. Тогава делта y е равно на 2, когато делта x е равно на 1. Така че нашето изменение на y по отношение на x, поне за тази допирателна тук, която представлява промяната в y по отношение на x точно в тази точка, ще бъде равна на 2 върху 1, или направо 2. Казват ни да го определим приблизително, но останалите възможности няма как да бъдат верни. Да имаме –2 като резултат за производната означава, че когато x се увеличава, y намалява. Ако нашата крива изглежда така, ще имаме наклон от –2. Ако имаме наклон от плюс 0,1, тогава кривата ще бъде почти плоска, някъде тук долу може да имаме наклон близък до 0,1. Минус 0,1 също ще бъде някъде там, но от другата страна, тук има наклон, но кривата в тази област е почти плоска. Наклон със стойност 0 би се намирал на дъното, където при изменение на x, y нито се увеличава, нито намалява, наклонът на допирателната точно в тази точка на дъното би имал стойност нула. Приемам този отговор като достатъчно добър. Нека направим още едно подобно упражнение. Тук имаме да сравним стойностите на производната на функцията g за стойностите 4 и 6 и да определим коя от двете е по-голяма. Както винаги, първо спри видето и се опитай да намериш решението самостоятелно. Това е просто упражнение, да видим дали ако... да видим дали ако прокараме права, която определя наклона тук... Може да го направиш и с допирателна, нека пробвам. Тази не става, не върши работа... точно тук над... ... тази изглежда... ... мисля, че мога да се справя по-добре от това... ... тази е прекалено повърхностна, за да се види, не, повърхностна не е точната дума, твърде плоска. Нека се опитам наистина... ... добре, тази вече изглежда доста добре. Така, тази права, която току-що начертах, изглежда определя скоростта на изменение на y по отношение на изменението на x, или иначе казано – наклона на кривата или тази права, която може да разглеждаш като допирателна. Може да мислим за наклонът ѝ и след това, ако продължим още надолу, насам, например в тази точка, изглежда, че става все по-стръмна, но в отрицателна посока. Определено изглежда по-стръмна, но в отрицателна посока. С увеличаването, мисли го по този начин, с увеличаването на x с 1 тук изглежда, че намаляваме y с около единица. Изглежда, че g'(4), g'(4), производната на g при x равно на 4, е приблизително, оценявам я на –1. Докато производната на g, когато увеличим x... Ако увеличим x с 1, изглежда, че намаляме y с приблизително 3, така че g'(6) изглежда по-близо до –3. Коя от двете стойности е по-голяма? Тази е по-близко до нулата, така че тя ще бъде по-голяма от другата. А това можеше и да се прецени само по логика, ако просто разгледаш кривата, това е някакъв вид синусоида. Ето тук кривата е плоска и точно в този момент нямаш никакво изменение на y по отношение на x, след което започва снижаване, чиято скорост се увеличава все повече, и повече. След това скоростта намалява и снижението се осъществява с все по-бавни и по-бавни темпове. И точно в този момент наклонът на допирателната в тази точка е 0, след което започва да се увеличава и да се увеличава, и така нататък, и това се повтаря отново и отново. Така че можеш да си представяш задачата и по по-интуитивен начин.