If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:07

Видео транскрипция

Това е портрет на Исак Нютон, много известен британски математик и физик. Това е портрет на Готфрид Лайбниц, много известен,но може би не толкова известен, колкото би трябвало да бъде, немски философ и математик, който е съвременник на Исак Нютон. Тези двама джентълмени заедно са били истинските основатели и бащи на алгебрата. И те извършват повечето от тяхната, почти всичката от своята главна работа, в края на 17 век. А тук е Юсейн Болт, ямайски спринтьор, който даваше най-доброто от себе си през 2012. И в началото на 2012 той е най-бързият жив човек, а вероятно е и най-бързият човек, който някога е живял. Може би не успяваш да направиш връзка между тези трима джентълмени. Вероятно си мислиш, че между тях няма много общо, но всички те са били обсебени от един и същ фундаментален въпрос. И това е същият фундаментален въпрос, на който отговаря диференциалното смятане. А въпросът е: какво е моментното ниво на промяна на нещо ? А в случая с Юсейн Болт: колко бърз ще бъде той в даден момент? Не каква е била средната му скорост за последната секунда, или средната му скорост за следващите 10 секунди. Колко бърз е точно в този момент? И с това именно се занимава диференциалното смятане. Моментните нива на промяна. Диференциално смятане. Оригиналният подход на Нютон към диференциалното смятане е бил методът на флуксиите (безкрайно малките нараствания), което всъщност звучи малко любителски. Но той всъщност се занимава с това какво се случва точно в този момент. И да видим защо това не е много лесна задача, която да бъде решена от традиционната алгебра, ще начертая набързо една графика. На тази ос ще бъде разстоянието. Ще кажа, че у е равно на разстоянието. Бих могъл да кажа, че "d" е равно на разстоянието, но ние ще видим, особено по-късно в математическия анализ, че "d" е запазено за нещо друго. Значи у е равно на разстоянието. А по тази ос ще отчетем времето. Мога да кажа, че t е равно на времето, но просто ще кажа, че "хикс" е равно на времето. И така, ако начертаем разстоянието на Юсейн Болт като функция на времето, при време нула той не е отишъл никъде. Той си е точно там, на старта. А ние знаем, че този джентълмен е способен да премине 100 метра за 9 секунди и 58 стотни. Така че след 9,58 секунди ние приемаме... това са секунди ето тук, той е способен да премине 100 метра. И като използваме тази информация, ние можем всъщност да изчислим неговата средна скорост. Нека да напиша по този начин: неговата средна скорост ще бъде точно промяната му в разстоянието върху промяната му във времето. И като използваме променливите, които са ето тук, ние казваме, че "у" е разстояние. Така че това е същото нещо като промяната на "у" спрямо "х" от тази точка до тази точка. И това би могло да ти изглежда някак познато от основите на алгебрата. Това е наклонът между тези две точки. Ако имаме права, която да свързва тези две точки, това е наклонът на тази права. Промяната по разстояние е това ето точно тук. Промяната на "у" е равно точно на 100 метра. А нашата промяна по време е точно ето тук. Нашата промяна по време е равна на 9,58 секунди. Ние започнахме от 0 и отидохме до 9,58 секунди. Друг начин да разглеждаме това е: изкачването върху изместването, така е в часовете по алгебра. Това ще бъде 100 метра за 9,58 секунди. Така че това е 100 метра за 9,58 секунди. И този наклон е точно самата скорост на изменение, или може да го видиш като средна скорост на изменение между тези две точки. И ще видиш, ако просто следваш мерните единици, че получаваш мерни единици за скорост тук. Това ще бъде моментната скорост, ако също определим посоката. И ние можем да пресметнем, нека си извадя калкулатора. Ще извадя калкулатора на екрана. Имаме 100 метра за 9,58 секунди. Така че това е 10,4, аз само ще запиша 10,4 , закръглено на 10,4. Така че това е приблизително 10,4 и тогава единиците са метри за секунда. И това е неговата средна скорост. И ще видим след секунда как средната скорост се различава от моментната скорост. Как се различава от скоростта, която достига във всеки даден момент. И само за да имаме представа колко бързо е това, ще върна калкулатора. Това са метри за секунда. Ако искаш да знаеш колко метра ще измине за един час... ами имаме 3600 секунди в един час... Така че можем да преминем тези метри 3600 пъти. Така че това са метрите, които той може да постигне, ако можехме някак да задържим тази скорост за един час. Това е колко бързо той бяга в метри за час. И тогава, ако искаме да кажем колко мили за час, има 1600 и... не знам си точно колко, но грубо 1600 метра в една миля. Така че ще разделим на 1600. Това е грубо малко над 23, около 23 и половина мили на час. Това е приблизително и аз ще го напиша по този начин – това е приблизително 23,5 мили в час. Ако беше автомобил, това не е много висока скорост. Но отнесено към мен е крайно бързо. Сега да видим как това се различава от моментната скорост. Да помислим за възможната графика на разстоянието към времето. Той не достига тази скорост мигновено. Той не я развива веднага, щом проехти стартовия изстрел. Той не поддържа 23 и 1/2 мили в час за цялата дистанция. Той ускорява след старта. При старта започва малко по-бавно. Така че наклонът ще бъде малко по-нисък от средния наклон. Той ще бъде малко по-бавен, след което започва да ускорява. И така неговата скорост... и ти ще видиш по наклона тук, наклонът става по-стръмен и по-стръмен, и по-стръмен. И тогава, може би близо до края, той започва да се уморява малко. И така разстоянието, начертано спрямо времето, може да образува крива, която да изглежда ето така. И това, което изчисляваме, е само средният наклон спрямо промяната във времето. Можем да видим във всеки даден момент, че наклонът е фактически различен. В началото той има по-ниско ниво от промяната на разстоянието. Тогава ето тук той ускорява, изглежда, като че ли промяната по разстояние, която би била грубо... или може да се разгледа като наклона на допирателната в тази точка, това изглежда по-високо от средното за него. И после той започва да забавя отново. Когато го усредниш, то достига 23 и 1/2 мили за час. И аз ще намеря моментната скорост на Юсейн Болт, неговата върхова моментна скорост е всъщност близка до 30 мили в час. Така че наклонът тук би могъл да бъде 23 и нещо си мили в час. Но неговата моментна най-висока скорост в рамките на тези 9,58 секунди е по-близо до 30 мили в час. Виждаш, че това не е лесно да се определи. Можеш да кажеш: "ОК, нека опитам да намеря приблизително наклона тук." И можеш да направиш това, като кажеш: "ОК, добре. Каква е промяната в "у" спрямо промяната на "х" точно ето тук?" Можеш да кажеш: "Нека да задам някаква промяна на "х", и да изчисля каква е промяната на "у" около това, или като преминаваме през това. Така получаваш това. Но това би било само едно приближение, защото виждаш, че наклонът на тази крива непрекъснато се променя. Това, което искаш да направиш, е да видиш какво се случва, когато промяната в "хикс" става по-малка, и по-малка, и по-малка. И когато промяната на "хикс" става по-малка, и по-малка, и по-малка, ще получаваш все по-добро и по-добро приближение. Промяната на "у" ще бъде по-малка, и по-малка, и по-малка. Така че това, което искаш да направиш... ние ще навлезем в дълбочина във всичко това, и ще учим това по-строго... искаш да намериш границата, когато делта х клони към нула, на твоята промяна на у към промяната на х. И когато правиш това, ще достигнеш до тази моментна скорост на промяна. Можеш да го разглеждаш като моментен наклон в тази точка от кривата. Или наклонът на допирателната в тази точка от кривата. Или ако използваме алгебрична терминология, ние бихме го видели като производна. Така че моментният наклон е производната. И записването, което използваме за производната, е "dy" върху "dx". И заради това съм запазил буквата у. И тогава ще кажеш: "Добре,а как това е свързано с думата диференциал?" Думата диференциал се отнася... това "dy" е диференциал, "dx" е диференциал. И един начин да онагледим това е, че това е една безкрайно малка промяна на "y" върху безкрайно малка промяна на "х". И като взимаме изключително малки промени на у върху промяната на х, ще можеш да получиш моментния наклон. В този конкретен пример – моментната скорост на Юсейн Болт точно в този момент. И забележи, не може просто да поставиш 0 тук. Ако поставиш промяна 0 за х, ще получиш нещо, което е неопределено. Не може да делиш на 0. Така че достигаш границата, когато то достигне 0. И ние ще разгледаме по-строго доказателство в следващите няколко видео урока.