Основно съдържание
Диференциално смятане
Курс: Диференциално смятане > Раздел 2
Урок 13: Видеа с доказателства- Доказателство: Непрекъснатостта следва от диференцируемостта
- Доказване на правилото за диференциране на степени
- Доказване на правилото за диференциране на степени, когато степенният показател е цяло положително число
- Доказване на правилото за диференциране на степен за функция, съдържаща корен квадратен
- Граница на sin(x)/x, когато x клони към 0
- Определяне на границата на (1-cos(x))/x при x клонящо към 0
- Доказателство за производната на sin(x)
- Доказателство за производната на cos(x)
- Доказателство на правилото за диференциране на произведение от функции
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказателство за производната на cos(x)
Използвайки фактът, че производната на sin(x) е cos(x), използваме визуални средства, за да покажем, че производната на cos(x) е -sin(x).
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В това видео ще покажа нагледно
защо производната спрямо х на cosх е равна на –sinx. Ще се опра на доказателство, което сме правили преди, че производната спрямо х на sinx е равна на cosx. Ще приемем това тук. Насърчавам те да гледаш
това видео. То всъщност е доста сложно
доказателство, но ако приемем това, ще направя
нагледно доказателство, че това тук е вярно, че
производната спрямо х на cosx е –sinx. Тук виждаме sinx в червено и cosх в синьо. Приемаме, че синята графика показва производната, наклона
на допирателната за всяко х на червената графиката. Разбрахме това в минали видеа. Това, което ще направя сега, е да преместя двете графики наляво с π/2. Премествам наляво с π/2. Ще преместя също и синята
графика наляво с π/2. Какво ще получим? Синята графика ще изглежда така. Ако това тук горе беше cosx, сега можем да кажем, че
това е равно на: у = cos(x + π/2). Това е синята графика cosx, преместена наляво с π/2. А това е у = sin(x + π/2). Доказателството е това,
което направих – преместих двете графики наляво с π/2. Производната на червената е синята графика. Можем да кажем, че производната спрямо х на
червената графика sin(x + π/2) е равна на синята графика, че е равна на cos(х + π/2). Колко е sin(х +π/2)? Това е същото като cosx. Виждаш, че тази червена графика
е същата като cosx. Знаем това от тригонометричните
тъждества, а всъщност можеш да видиш
и графично, само като погледнеш
тези графики. Колко е cos(х +π/2)? Отново от тригонометричните
тъждества знаем, че това е същото нещо като –sinx. Това е графичното доказателство. Започни от тази информация, премести двете графики
наляво с π/2 и все още трябва да е вярно, че производната спрямо х на sin(х +π/2) е равна на cos(х +π/2). Това е същото като това, което имаме тук. Сега би трябвало да се чувстваме
доста уверени. Доказахме това
в предишно видео и имаме доста силно графично
доказателство за този cosx от това видео.