Доказателство за производната на cos(x)

В това видео ще покажа нагледно защо производната спрямо х на cosх е равна на –sinx. Ще се опра на доказателство, което сме правили преди, че производната спрямо х на sinx е равна на cosx. Ще приемем това тук. Насърчавам те да гледаш това видео. То всъщност е доста сложно доказателство, но ако приемем това, ще направя нагледно доказателство, че това тук е вярно, че производната спрямо х на cosx е –sinx. Тук виждаме sinx в червено и cosх в синьо. Приемаме, че синята графика показва производната, наклона на допирателната за всяко х на червената графиката. Разбрахме това в минали видеа. Това, което ще направя сега, е да преместя двете графики наляво с π/2. Премествам наляво с π/2. Ще преместя също и синята графика наляво с π/2. Какво ще получим? Синята графика ще изглежда така. Ако това тук горе беше cosx, сега можем да кажем, че това е равно на: у = cos(x + π/2). Това е синята графика cosx, преместена наляво с π/2. А това е у = sin(x + π/2). Доказателството е това, което направих – преместих двете графики наляво с π/2. Производната на червената е синята графика. Можем да кажем, че производната спрямо х на червената графика sin(x + π/2) е равна на синята графика, че е равна на cos(х + π/2). Колко е sin(х +π/2)? Това е същото като cosx. Виждаш, че тази червена графика е същата като cosx. Знаем това от тригонометричните тъждества, а всъщност можеш да видиш и графично, само като погледнеш тези графики. Колко е cos(х +π/2)? Отново от тригонометричните тъждества знаем, че това е същото нещо като –sinx. Това е графичното доказателство. Започни от тази информация, премести двете графики наляво с π/2 и все още трябва да е вярно, че производната спрямо х на sin(х +π/2) е равна на cos(х +π/2). Това е същото като това, което имаме тук. Сега би трябвало да се чувстваме доста уверени. Доказахме това в предишно видео и имаме доста силно графично доказателство за този cosx от това видео.