Доказателство на правилото за диференциране на произведение от функции

Надявам се, че в това видео ще ти дам задоволително доказателство на правилото за производна на произведение. Нека започнем с дефиницията за производна. Имаме функцията f(x). Ако искаме да намерим производната ѝ, по дефиниция производната на f(х) е границата при х, клонящо към 0, на f(х +h) минус f(x), цялото върху h. Ако го разглеждаме графично, това е наклонът на допирателната и т.н., но сега искам да направя нещо малко по-интересно. Искам да намеря производната спрямо х не само на f(x), а на произведението от две функции: f(x) по g(x). Ако измисля простичък вариант за това, то ще бъде по същество правило за производна на произведение. Ако приложим дефиницията за производна, което означава да намеря границата при h, клонящо към 0, в знаменателя ще имам h. Ще направя голяма дробна черта. Ще бъде голям дробен израз. В знаменателя ще имаме h, после ще сметна това нещо за х + h. Това ще бъде f(х + h), g(х + h), и от това ще извадя това нещо, сметнато за f(х). Извинявай! Това нещо, сметнато за х. Това ще бъде f(x) по g(x). Ще оставя голямо празно пространство тук. След малко ще видиш защо. Ако пресметна това за х, то ще бъде минус f(x) g(x). Дотук просто приложих дефиницията за производна. Вместо да я приложа за f(x), аз я приложих за f(x) по g(x). Получаваме f(х + h) g(х + h), минус f(x)g(x), цялото върху h. Границата при h, клонящо към 0. Защо оставих това голямо странно пространство тук? Защото записано по този начин, не изглежда да има лесен алгебричен начин за преобразуване. Не знам как да намеря тази граница. Изглежда, че няма нищо очевидно, което да направим. Това, което ще ти покажа, можеш да го приемеш малко като трик. Не твърдя, че щях да се сетя за него сам. Може би след време, ако се занимавах с часове с това. Предполагам, че някой си е играл с това достатъчно дълго и си е казал: "Чакай, чакай! Ако тук просто събера и извадя едно и също нещо, мога да преобразувам алгебрично и да стигна до това, което всички знаем като класическото правило за производна на произведение." Какво трябва да съберем и извадим тук? Нека ти подскажа. Ако имаме плюс... Всъщност нека променя това. Минус f(х + h) g(х). Не мога просто да извадя. Ако го извадя, трябва и да го прибавя, за да не се промени стойността на този израз. Плюс f(х + h) g(x). Не променяме стойността. Просто прибавих и извадих същото нещо, но сега нещата могат да се преобразуват по интересни алгебрични начини, за да стигнем до обичното ни правило за производна на произведение. Във всеки момент, в който се вдъхновиш, те насърчавам да спреш видеото. За да продължим, нека продължим да разучаваме още този израз. Всичко това ще бъде равно на границата при h, клонящо към 0... Първото нещо, което ще направя, е да разгледам тази част от израза. По конкретно ще извадя пред скоби f(х + h). Ако извадя пред скоби f(х + h), тази част тук ще бъде f(х + h) по... Остава ни g(х + h). Това е в малко по-различен нюанс на зеленото. g(х + h), което е това тук, минус g(x)... Опа, забравих скобите! Трябва да е в друг цвят. Имам нова програма и ми е малко трудно да сменям цветовете. Извинявам се. Това не е лесно доказателство и поне трябва да сменям цветовете гладко. g(х + h) минус g(х), което е това тук, цялото върху това h. Това е тази част тук, после тази част тук, която всъщност също е върху h, затова нека го оградя ето така. Тази част тук мога да запиша като: Ще имаме плюс... Нека всъщност изкарам пред скоби g(x). Плюс g(x) по това f(х + h) минус това f(x), цялото върху h. От свойствата на границите знаем, че границата на всичко това ще бъде същото нещо като границата на това при h, клонящо към 0, плюс границата на това при h, клонящо към 0. А после границата на произведението ще бъде същото нещо като произведението от границите. Ако използвам двете свойства на границите, мога да запиша цялото това като границата... Нека си направя малко пространство. Границата при h, клонящо към 0, на f(х + h) по границата при h, клонящо към 0, цялото това g(х + h) минус g(x), цялото върху h. Виждаш накъде отивам. Много вълнуващо. Плюс границата... Нека го запиша малко по-ясно. Плюс границата при h, клонящо към 0, на g(x), нашето хубаво кафяво g(x), по... Сега имаме произведение. Границата при h, клонящо към 0, на f(х + h) минус f(x), цялото върху h. Нека поставя скоби, където е нужно. Тук, тук, тук, тук. Записах просто, че границата на този сбор, ще бъде сборът на границите. Ще бъде границата на това плюс границата на това. После границата на произведенията ще бъде същото нещо като произведението от границите. Просто използвах свойствата на границите. Нека сега пресметнем. Каква е границата... Ще ги направя в различни цветове. Какво е това нещо тук? Границата при h, клонящо към 0, на f(х + h). Това ще бъде f(x). Това е вълнуващата част. Какво е това? Границата при h, клонящо към 0, на g(х + h) минус g(х), върху H. Това е просто дефиницията на производната ни. Това е производната на g. Това ще бъде производната на g(x), което ще бъде g прим от х. g'(х). Умножаваме тези двете и после имаме плюс... Каква е границата при h, клонящо към 0, на g(x)? Дори няма h тук, следователно това ще бъде просто g(x). Следователно плюс g(x) по границата... Да видим, това е кафяво, а последното ще направя в жълто. По границата при h, клонящо към 0... Вече сме много близко. Барабанният звук трябва да започва. Границата при h, клонящо към 0, на f(х + h) минус f(x), върху h. Това е дефиницията на производната f(x). Това е f прим от х. По f'(х). Готово. Производната на f(x) по g(x) е това. Ако исках да го запиша в малко по-сбита форма, то ще е равно на f(x) по производната g'(х) плюс g(x) по производната f'(х). Разгледано по друг начин, това е първата функция по производната на втората плюс втората функция по производната на първата. Това е доказателството... или поне едно от доказателствата, всъщност има и други... на правилото за производна на произведение.