Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 2

Урок 9: Производна на cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, и ln(x)

Доказване на производните на sin(x) и cos(x)

Доказваме, че производната на sin(x) е cos(x), а производната на cos(x) е -sin(x).

Тригонометричните функции

\sin (x)

\cos (x)

играят важна роля във висшата математика. Това са техните производни:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x)] & = \cos (x) \\ \frac{d}{d x} [\cos (x)] & = - \sin (x) \end{aligned}

Курсът по Висша математика за напреднали не изисква доказването на тези производни, но ние вярваме, че щом доказателството е достъпно, има какво да се научи от него. В общи линии винаги е добре да изискваш някакво доказателство или обяснение за теоремите, които учиш.

Първо искаме да намерим две сложни граници, които се използват в нашето доказателство.

1. $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ ‍

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Limit of sin(x)/x as x approaches 0Виж видео транскрипцията

2. $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} = 0$ ‍

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Виж видео транскрипцията

Сега сме готови да докажем, че производната на $\sin (x)$ ‍ е $\cos (x)$ ‍.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Proof of the derivative of sin(x)Виж видео транскрипцията

Накрая можем да използваме факта, че производната на $\sin (x)$ ‍ е $\cos (x)$ ‍, за да покажем, че производната на $\cos (x)$ ‍ е $- \sin (x)$ ‍.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Proof of the derivative of cos(x)Виж видео транскрипцията

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 2

Първо искаме да намерим две сложни граници, които се използват в нашето доказателство.

1. limx→0sin⁡(x)x=1‍

2. limx→01−cos⁡(x)x=0‍

Сега сме готови да докажем, че производната на sin⁡(x)‍ е cos⁡(x)‍ .

Накрая можем да използваме факта, че производната на sin⁡(x)‍ е cos⁡(x)‍ , за да покажем, че производната на cos⁡(x)‍ е −sin⁡(x)‍ .

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

1. $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ ‍

2. $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} = 0$ ‍

Сега сме готови да докажем, че производната на $\sin (x)$ ‍ е $\cos (x)$ ‍.

Накрая можем да използваме факта, че производната на $\sin (x)$ ‍ е $\cos (x)$ ‍, за да покажем, че производната на $\cos (x)$ ‍ е $- \sin (x)$ ‍.