Производнa на 𝑒ˣ

Това, което имаме тук, е графиката на y = e^x. А това, което ще научим до края на урока, е една от най-очарователните идеи в анализа, и още веднъж потвърждава идеята, че това "е" наистина е някакво магическо число. Ще направим малко изследване. Нека да изберем няколко точки от тази крива, от y = e^x, и да помислим, какъв е наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната, или как изглежда производната. И нека да кажем, че когато y = 1, или когато e^x = 1, това е случаят, когато x = 0. Наклонът на допирателната изглежда, че е 1, което е любопитно, защото това е точно стойността на функцията в тази точка. Какво се случва, когато e^x = 2, ето тук? Нека да го означа с друг цвят. Наклонът на допирателната сигурно изглежда много близо, сигурно изглежда много близо до 2. Какво се случва, когато e^x = 1/2? Това се получава около това място. Изглежда, че наклонът на допирателната е около 1/2. Може да попитаме: какво се случва, когато е^x = 5? Наклонът на допирателната тук изглежда много близо, изглежда много близо до 5. И само от наблюдение, това ли е случаят, когато наклонът на допирателната към e^x е равен на същото като e^x? Ще ти кажа и това е удивително нещо, защото действително е вярно, че ако имаме функция f(x), която е равна на e^x, и ако намеря производната ѝ, то тя ще бъде равна също на e^x. Друг начина да го представим, е че производната спрямо x от e^x, е равна на e^x, и това е удивително. В предишни уроци или курсове сме учили за начини за дефиниране на "e", а това може да е нов такъв. "е" е числото, което като го повдигнем на степен x, т.е. дефинираме функция или израз като e^x, е числото, за което производната на функцията е^x също ще бъде e^x. Това, което наблюдаваш тук, тази крива, е кривата, при която стойността за y във всяка една точка, е същата като наклона на допирателната. Ако това все още не ти се струва мистериозно, магическо и удивително, ще стане. Може би тази нощ ще се събудиш в полунощ и изведнъж ще осъзнаеш за какво става дума. Някои от вас може би ще си кажат: "Добре, страхотно е това, което ми казваш, но откъде да знам, че е истина?" Ще направим доказателство в друг урок.