Правило за диференциране на частно на две функции

В това видео ще ти представя правилото за намиране на производна на частно. Няма да го доказваме в това видео. В някое следващо видео можем да го докажем, използвайки правилото за произведение, и ще видиш, че имат доста сходства. Но тук ще учим какво е то, как и къде да го прилагаме. Например ако имам някаква функция f(x) и тя може да се изрази като частно от два израза... Да кажем u(x) върху v(x). Тогава правилото за производна на частно ни казва, че f прим от х ще е равно на... Това ще изглежда малко сложно, но след като го приложим, се надявам, че ще ти стане малко по-комфортно с него. Ще бъде равно на производната на функцията в числителя, u прим от х, по функцията в знаменателя, v от х, минус функцията в числителя, u(x)... Ще направя това в син цвят. Минус u(x), по производната на функцията делител, по v прим от х. Това вече изглежда доста подобно на правилото за производна от произведение. Ако това беше u(x) по v(x), тогава това щяхме да получим, ако смятаме производната, но тук щеше да бъде знак плюс... А тук е знак минус. Но не сме приключили още. После разделяме на функцията делител на квадрат, v(x) на квадрат. Нека приложим тази формула. Да кажем, че имаме f(x) е равно на х на квадрат върху cosх. Кое е нашето u(x) и кое е нашето v(x)? u(x) е х на квадрат. Това е u(x), а u прим от х ще бъде равно на 2х. А това е v(x). Следователно това е v(x). А v прим от х, производната на cosx спрямо х ще е равно на –sinx. Тогава просто умножаваме. Според това f прим от х ще е равно на производната на функцията в числителя, която е 2х. Това нещо тук. Ще бъде 2х по функцията в знаменателя, v(x), която е cosx, по cosx минус функцията в числителя, която е просто х на квадрат, по производната на функцията в знаменателя. Производната на cosx е –sinx. Всичко това върху функцията в знаменателя на квадрат. Това е cosx и ще го повдигна на квадрат. Мога да запиша ето така... Всъщност нека запиша така, за да е малко по-ясно. В този момент трябва само да опростим. Това ще бъде равно на... Да видим. Ще получим 2х по cosx... минус по минус е плюс... плюс х на квадрат по sinx. Всичко това върху cosx на квадрат, което мога да запиша и така. И сме готови. Може да се опиташ и да опростиш това, но всъщност няма очевиден начин за допълнително опростяване. Това, което ще видиш в бъдеще, може би вече знаеш нещо, наречено верижното правило, а може и да го научиш в бъдеще. Но може и да използваш правилото за производна от частно, използвайки правилото за произведение и верижното правило, което може да научиш в бъдеще. Но ако не знаеш верижното правило още, това е доста полезно.