Тангента към графиката на функцията y=𝑒ˣ/(2+x³)

Дадена е кривата y, която е равна на е^x върху 2 + x^3. Това, което искаме да направим, е да намерим уравнението на допирателната към тази крива в точката x = 1. Когато x = 1, y ще бъде равно на e/3. Ще бъде равно на e/3. Нека да се опитаме да намерим уравнението на допирателната към кривата в тази точка. Насърчавам те да спреш видеото и първо да се опиташ да решиш задачата самостоятелно. Наклонът на допирателната в тази точка е същото нещо като производната в тази точка. Така че нека да се опитаме да намерим производната на функцията или да изчислим производната на функцията в тази точка. За да направя това, ще запиша отново функцията. Може да използваш правилото за производна на частно ако искаш. Аз винаги забравям правилото за производна на частно. За мен е много по-лесно да запомня правилото за производна на произведение. Мога да запиша отново функцията, и да е с различен цвят, като y = e^x, умножено по (2 + x^3) на степен –1. Нека да запиша ето тук производната на този израз. y' ще бъде равно на производната на тази част от израза, e^x... И така, производната на e^x е просто e^x. Нека да го запиша. Ще намерим производната на e^x. Това, което е удивително за e^x, е, че производната на e^x е просто e^x. След това е умножено по този израз. Тоест е умножено по (2 + x^3) на степен –1. Тогава към това ще прибавим ето този множител... Това вече не е производната на e^x. Просто ще добавим e^x умножено по производната на този израз тук. Ще търсим производната му. Може да приложим верижното правило за намиране на производна. Ще бъде равно на производната на (2 + x^3) на степен –1 спрямо 2 + x^3, умножено по производната на (2 + x^3) спрямо x. Следователно ще бъде равно на минус... Ще го запиша по следния начин. Минус (2 + x^3) на степен –2. След това ще умножим това по производната на (2 + x^3) спрямо x. Е, производната на този израз спрямо x, е просто 3x^2. 3x^2 Разбира се, може да опростим този резултат малко, ако искаме. Но същността на това е да намерим стойността на производната в тази точка. Следователно нека да я изчислим. Нека да изчислим y', когато x = 1. y'(1), когато x = 1. Това нещо се опростява до... Нека да видим. Това ще бъде 'e', умножено по (2 +1) на степен –1, Ето това ще бъде просто 1/3, нали така? (2 + 1) на степен –1. Това е 3 на степен –1. Това е равно на 1/3. Така че това е 'e' на степен 1 умножено по 1/3 плюс ''e' на степен 1 по ... Сега нека да видим как ще опростим тази част? Тази част ето тук, това е (2 + 1) на степен –2. Тази част, всъщност нека... Не искам да...Тази част ето тук ще бъде, нека да видим...Това ще бъде... Просто не искам да направя грешка от невнимание тук. Тази част е равна на 3 на степен –2. 3 повдигнато на квадрат е 9. 3 на степен –2 е 1/9. Следователно ще бъде 1/9. Сега ще трябва да умножиш по този минус тук. Имаме –1/9. След това ще трябва да умножим 1/9 по 3 и по 1. Така че, това е 1/9 умножено по 3. Умножено по 3 ето тук. Следователно това е равно на –3/9 или –1/3. Така че получихме 'е' по –1/3. Всичко, което направих до тук, е да заместя x с 1 и да изчисля производната. Ето това сега е интересно. Всъщност имам... Ще запиша това по друг начин. Този израз е равен на е/3 минус е/3, което е равно на 0. Следователно наклонът, когато x = 1, е равен на 0. Наклонът на допирателната е равен на 0. Този израз се опростява до относително проста ситуация. Ако исках да запиша уравнение на права по даден ъглов коефициент и пресечна точка, можех да го запиша по следния начин: y = mx + b, където m е наклонът, а b e ординатата на пресечната точка с оста y. Сега знаем, че наклонът на допирателната в тази точка, е равен на 0. Следователно това ще бъде равно на 0. Целия този член ще бъде равен на 0. Следователно уравнението просто ще има вида y = b. Това ще бъде просто една хоризонтална права. Каква е тази хоризонтална права, която съдържа тази точка точно ето тук? Тя съдържа стойността y = e/3. И така, това е хоризонтална права. Стойността y е една и съща през цялото време. Тоест, ако y стойността е равна на y/3, то тогава знаем какво е уравнението на допирателната към кривата в тази точка. Уравнението ще бъде y = e/3. Друг начин, по който да мислиш за това ето тук, е, когато заместиш x = 1. E, тук дори няма x. Но когато x e коя да е стойност, то y = e/3 и получаваш, че b = e/3 или получаваш y = e/3. Тоест това е просто хоризонтална права. Нека всъщност да онагледим това просто, за да се уверим, че това има смисъл. Нека да заредя графичния калкулатор. Сега съм в режим на чертане. Ако искаше да разбереш как да направиш графиката, буквално трябва просто да отидеш на графика, y е равно на... Това и ще направя. И така, y = e^x, разделено на (2 + x^3). Това изглежда добре. Избирам интервала предварително, за да спестя време. Нека да направя графиката. Нека да видим. О, прави всички видове интересни неща! Добре. О, виж това! Добре, сега може да проследим по графиката къде x е равно на 1. x = 1 Точно ето там. Виждаш, че y = е/3, което е равно на този вид десетичен израз, точно ето тук. И изглежда, че наклонът точно ето тук е 0. Тоест, че допирателната просто ще бъде хоризонтална права в тази точка. Това ме кара да се чувствам уверен в отговора, който получихме.