Секуща права при произволна точка (с опростяване)

Секуща пресича графиката на f(x) = x^2 + 5x в две точки с x-координати 3 и t, където t е различно от 3. Пита се какъв е наклонът на секущата спрямо t? Отговорът трябва да бъде напълно разгърнат и опростен. Извинявам се предварително, ако съм малко задъхан. Току-що правих малко упражнения в офиса, за да си раздвижа кръвта, и мисля, че все още съм малко задъхан. Както и да е, искаме да намерим наклона на секущата, а имаме дадени две точки, лежащи на тази секуща. Знаем на какво е равно x във всяка от тези точки, а ако знаем x на какво е равно, можем да разберем на какво е равно и f от x във всяка от тези точки. Значи можем да направим малка табличка тук. Знаем x, знаем и f от x. Значи, когато x е равно на 3, на колко е равно f от x? Е, ще бъде равно на 3 квадрат плюс 5 пъти по 3. Е, това ще стане 9 плюс 15, което пък е 24. Значи, това ще стане 24, а когато x е равно на t, колко ще бъде f от t? Ще бъде t квадрат плюс 5 пъти по t. И значи ще имаме две точки, които са на тази права, това е секущата. Тя пресича функцията два пъти, така че тези две точки да лежат на нея. Значи трябва просто да намерим изменението на y между тези две точки. Изменението на y и изменението на x. И предполагам, че y е равно на f от x. Така че нашият наклон на секущата е изменението на y върху изменението на x. Изменението на y, ако разглеждаме тази точка като крайна, втората с t-то е нашата крайна точка, ще бъде тази стойност минус тази. Ще бъде t квадрат плюс 5t минус 24, след което в знаменател ще седи стойността на x от крайната точка минус стойността на x от началната, което ще е t минус 3. Но имаме като условие, че отговорът ни трябва да е напълно разгърнат и опростен. Вероятно има начин да опростим този израз още малко. Да видим, може ли да разделя числителя на нещо, което включва t минус 3? Добре, в числителя... да видим, минус 3 по 8 е минус 24. Минус 3 плюс 8 е 5. Значи може да запишем това като t плюс 8 по t минус 3. И ще можем да кажем, че това ще е равно на... ако съкратим (t – 3) или разделим числителя и знаменателя на (t – 3) тогава ще получим (t + 8). Сега вече, ако искаме да сме наистина точни, математически точни, този израз не е точно същият като началния израз ето тук. Каква е разликата? Е, те ще са изпълнени за всички t-та,ь освен за t равно на 3. Това ето тук е дефинирано и при t = 3. Всъщност, когато t е равно на 3, този израз е равен на 11. Но този израз тук не е дефиниран за t равно на 3, така че, ако искаш да е абсолютно точно, то този израз трябва да е със същия смисъл като този и ще трябва да забраниш t да бъде равно на 3. Сега вече този израз ще може да приема същите стойности на x, като този ето там. Но предполагам, за x различно от 3. Това може да ти се вижда малко излишно. Но това ще бъде... това е наклонът на секущата спрямо t.