Секущa правa при произволнa точкa

Една крива има уравнение y равно на натурален логаритъм от x, и преминава през точките P (e; 1). И Q (x; lnx). Напиши израз по отношение на x, даващ наклона на секущата свързваща P и Q. Аз си мисля, че ми трябва малко място за чертане за ето това тук. Това е същият въпрос като предния. Да визуализираме тази крива ето тук. Ще начертая координатните оси. Да кажем, че това е моята ордината. Това е ординатата, значи това е абсцисата. Това е абсцисата ето тук. Това е моята абсциса. И натурален логаритъм от x – да помислим за това малко. Натуралният логаритъм от 0... е на коя степен е равно на 0? Мисля, че това е 1. Значи ще имаме точка (1; 0) на тази графика. Това е 1 ето тук. И имаме натурален логаритъм от все по-малки и по-малки числа, приближавайки се до 0, ще става все по-отрицателна и по-отрицателна, спускайки се оттук само надолу към отрицателна безкрайност. Тази крива изглежда нещо такова. Ще изглежда като нещо такова. А ние знаем, че точката (e; 1) е на нея. Значи има и точка, lne. Значи, ако това е 1, то това трябва да е горе-долу 2. Това е почти 3. 'e' пък се намира някъде тук, приблизително e ето тук. А това е точката (e; 1). Знчи това е точката (e; 1) ето тук. Ще маркирам тази като P, за да сложа надпис. Значи това е P. А ние искаме да намерим секущата между P и някаква случайна точка Q за всяко дадено x. Стойността на y ще бъде натурален логаритъм от x. Да кажем, че това е нашата точка Q ето тук. А това тук е... искам да изясня, че това е... ще го начертая ето тук. Малко се колебая. Да кажем, че това е нашата точка Q, ето тук. А това е точката (x; lnx). И ние искаме да намерим наклона на секущата, която съединява тези две точки. Ще опитам да направя наклона на тази линия така, че да не изглежда като допирателна, тъй като все пак е секуща. Виждаш, че пресича право през кривата. Така че това е секущата ето тук. Тя пресича кривата в точките P и Q. Искам да намеря наклона на секущата. За да намеря наклона на секущата, ми трябва да намеря изменението на y и изменението на x между тези две точки. А какво е изменението в... нека да изясня. Това е точката, а това е, когато x е равно на... това е някакво случайно x. А това ето тук е точката lnx. Е, какво е нашето изменение на x? Нашето изменение на x, стойността ето тук е изменението на x, ще бъде (x – e), т.е. равно е на (x – e). А какво е изменението на y? Изменението на y ще бъде lnx, тоест lnx – 1, минус 1. Това е ето това разстояние тук. Значи наклонът на тази права, съдържаща и двете точки.... Мога да напиша m за наклон. Наклонът ще бъде изменението на y върху изменението на x, което е равно на lnx – 1. върху (x – e). И сега вече можем да въведем това и да сме сигурни, че резултатът е верен. Ще се опитам да го запомня: (lnx – 1) върху (x – e). Ще използвам това. Значи имаме натурален логаритъм от x, минус 1 върху... и това се показва доста добре за нас тук долу, така че да сме сигурни, че е върху (x – e). А сега да проверим и отговора. И разбира се, че е вярно.