Секущи линии: предизвикателна задача 1

Разгледай графиката на функцията f(x), която преминава през три точки, както е показано. Това са трите точки, а тази крива в син цвят е f(x). "Определи кои от твърденията са верни." Дават ни три твърдения. Нека да ги видим. Първото гласи, че f(–a) е по-малко от (1 – f(–a))/a. Това изглежда като някакво странно твърдение. Как може да определим дали това е вярно от това, което имаме тук? Нека да започнем стъпка по стъпка и да видим дали нещо ще започне да се изяснява. И така, f(–a) къде може да го видим тук? Ами, ето това е f(–a). Това е точката x = –a. Следователно ето това е –а, а това е y =f(–a). И така, това е f(–a) ето тук. Това, което знаем за f(–a), основаващо се на графиката, която виждаме, е че f(–a) се намира между 0 и 1. Това може да си го запишем. 0 < f(–a) < 1 Това е всичко, което мога да открия за f(–a) още от самото начало. Нека сега да погледнем това щуро твърдение. (1 – f(–a))/a Какво е това? Нека да помислим какво се случва, ако вземем секущата или ако искаме да намерим наклона на секущата, която е между тази и тази точка. Ако искаме да намерим средната скорост на изменение между точката –а, т.е. f(–a), и точката (0; 1). Ако това е нашата крайна точка, изменението ни за y ще бъде 1 – f(–a). Следователно 1 – f(–a) = ∆y, т.е. на изменението за y. А изменението за x, което стига от –a до 0, ще бъде равно на ∆x = 0 – (–а), което е равно на a със знак плюс. И така, това ето тук всъщност е нашето изменение за x върху изменението ни за y от тази точка до тази точка. Това е нашата средна скорост на изменение от тази точка до тази точка. Следователно това е средната скорост на изменение, или може да се каже, че е наклонът на секущата. Тоест секущата ще изглежда като нещо такова. Нещо ето такова. Наклон на секущата, така че това ето тук е наклонът на секущата между (–a; f(–a)) до (0; 1). Само като гледаме тази диаграма ето тук, какво знаем за този наклон? И по-конкретно, можем ли да направим някакви относителни твърдения за този наклон, като например 0 или 1, или въобще нещо подобно? Нека да помислим как би изглеждала права, която има наклон 1. Права с наклон 1, особено такава, която минава през тази точка ето тук, би изглеждала като нещо такова. Права с наклон 1 би изглеждала като нещо такова. И така, тази права тук, която току-що построих, която тръгва от (–1; 0) до (0; 1), има точно наклон 1. Този наклон е равен на 1. Ако тази зелена права има наклон 1, тогава тази синя права има ли наклон от... Ясно е, че тя определено има различен наклон. Този наклон... т.е. синята права по-стръмна ли е или по-малко стръмна от зелената права? Е, ясно е, че тази секуща е по-стръмна от зелената права. Нараства по-бързо. Следователно ще има по-голям наклон. Така че това, което наблюдаваме на чертежа, т.е. тази синя права, има наклон, който е по-голям от 1. Или наклонът на секущата от (–a; f(–a)) до (0; 1), следва да бъде по-голям от 1. Така че това ето тук е по-голямо от 1. Ето как успяхме да открием, че това нещо ето тук е по-малко от 1. Това нещо тук е по-голямо от 1. Следователно това нещо ще е по-малко от това нещо. Така че това трябва да е вярно. А сега нека да разгледаме това. Сравняваме наклона на секущата. Сравняваме наклона на секущата, която току-що разгледахме. Следователно това е същата стойност ето тук. Сравняваме този наклон ето тук с, т.е. какво е това (f(a) – 1)/a? Е, това е наклонът на тази секуща. т.е. наклонът на тази секуща, която чертая с този цвят. Нека да я направя да контрастира. Нека да я направя в оранжево. Това е наклонът на тази секуща. Коя права има по-голям наклон? Е, ясно е, че синята секуща има по-голям наклон от тази оранжева секуща. Но тук е дадено, че наклонът на синята права, е по-малък от този на оранжевата. Следователно това няма да е вярно. Това не е вярно. И накрая, нека да погледнем това тук: (f(a) – f(–a))/2a. А това е наклонът на... Нека да го начертая. Това точно ето тук, е наклонът на секущата между тази точка и тази точка ето тук. Нашето изменение за y, т.е. ∆y = f(a) – f(–a). Изменението за x или ∆x = a – (–a), което е равно на 2a. Ето това е секущата ето тук. Нека да я начертая. Така че това е секущата ето тук и сравняват този наклон с този наклон. f(a) – 1 = ∆y върху а, което е ∆x. Тоест сравняваме го с този точно ето тук. Но незабавно можеш да забележиш този вид кафява или тъмно-винена права –предполагам някакъв вид кафяв цвят, която секуща минава през целия път от тук до тук, и е ясно, че е по-стръмна от тази ето тук. И ние знаем, че средната скорост на изменение от тук до тук ще бъде по-голяма от средната скорост на изменение от тук до тук, защото поне от –а до 0 функцията нараства с много по-голяма скорост. А след това скоростта намалява до ето тази. Следователно средната скорост в рамките на целия интервал определено ще бъде по-голяма, отколкото е от 0 до a. Следователно това твърдение също не е вярно. Това има по-голяма... Всъщност знаем, че това е грешно. Тези двете щяха да бъдат верни, ако разменим тези знаци, т.е. ако това беше по-голямо от това, ако този знак беше "по-голямо от". Следователно единствено това твърдение е вярно за условието.