Производната на x² в произволна точка чрез формалната дефиниция

В последното видео намерихме наклона в дадена точка от кривата y = x^2. Нека да видим дали можем да обобщим това и да достигнем до формула, която изчислява наклона във всяка точка от кривата y = x^2. Ще начертая още веднъж моята функция ето тук. Никога не пречи да имаш хубав чертеж. И така, това е моята ос y. Това е моята ос x ето тук. Моята ос x. Нека да начертая моята крива. Изглежда като нещо такова. Нещо, което е видяно от теб много пъти. Това е y = x^2. Нека сега да вземем общ случай. Запомни, ако искаш да намериш... нека просто да напиша дефиницията на нашата производна. Ако имаме тук една точка, нека да я наречем x. Искаме да е много общ случай. Искаме да намерим наклона в точка x. Искаме да намерим функция, за която избираш стойност x, и аз мога да кажа какъв е наклонът в тази точка. Ще нарека това f'(x). Това ще бъде производната на f(x). Но всичко, което f(x) прави, изглежда е, че избираш... т.е. това е функция, за която избираш стойност x, и тя ти връща стойността на това. Ето тук чертаем кривата. При f'(x) задаваш същата стойност x, но няма да ти върне стойността от кривата. Няма да ти каже: това е твоето f'(x). Ще ти даде стойността на наклона на кривата в дадената точка. И така f'(x), ако го зададеш за тази функция, следва да ти каже, че наклонът в тази точка е равен на, например, ако зададеш 3 там, ще кажеш наклонът е равен на 6. Видяхме това в последния пример. Защото това е, което искаме да направим. И видяхме това в последните, мисля, че бяха два урока, където дефинирахме f'(x) да бъде равно на... Е, просто ще го запиша по този начин. Това е наклонът на секущата между x и някаква точка, която е малко по-далеч от x. Наклонът на секущата е изменението ∆y. Така че, това е стойността y в точката, която е малко по-далеч от x. Следователно f от (x + h) минус стойността y в точката x, нали така? Защото това е точно тук. Това е f(x). Минус f(x). Всичко това е върху изменението ∆x. Ако това е x + h тук, изменението ∆x е (x + h) – x. Или това разстояние ето тук е просто h. Изменението ∆x ще бъде равно на h. Така че това е наклонът на секущата между кои да е две точки като тези. И казахме, че можем да намерим наклона на допирателната, ако просто намерим границата на това, когато клони... т.е. когато h клони към 0. И тогава намираме наклона на допирателната. Нека да приложим тази идея за конкретна функция, f(x) = x^2. Или y = x^2. Ето тук, можем да имаме точката... можем да изберем това да бъде точката (x; x^2). Така че f(x) просто ще бъде равно на x^2. Тогава това ще бъде точката... нека да я направя в по-ярък цвят. Това е точката x + h, това е тази точка тук. Малко по-надолу се намира. И тогава (x + h)^2. И знаеш от предния урок, че направихме това за конкретна стойност x. Направихме го за x = 3. Но сега искам обща формула. Дай ми произволна стойност x и няма да направя това, което направих в предния урок за дадено число. Ще имам обща функция. Даваш ми 7 и ще ти кажа какъв е наклонът в точката 7. Даваш ми –3 и ще ти кажа какъв е наклонът в точката –3. Даваш ми 100 000 и ще ти кажа какъв е наклонът в точката 100 000. Нека да го приложим тук. Искаме да намерим отношението на двете изменения ∆y/∆x. Изменението за y върху изменението за x. Първо, изменението ∆y е стойността на ето тази точка, която е (x + h)^2... (x + h)^2 Това е стойността y на тази точка ето тук. Това е точно това ето тук. Това е (x + h)^2. Просто взех x + h, изчислих го, повдигнах го на квадрат и това е съответната ѝ точка от кривата. Така че това е (x + h)^2. Това е точно ето там. Тогава каква е тази стойност? f(x) ето тук е равно на... знам, че става объркано... е равно на x^2. Ако вземеш своето x и изчислиш функцията в тази точка, ще получиш x^2. Тоест равно е на минус x^2. Това е изменението ∆y. Това е ето това разстояние. И просто, за да го свържем с нашата дефиниция за производна, това синьо нещо ето тук е еквивалентно на това нещо ето тук. Просто изчислихме нашата функция. Нашата функция е f(x) = x^2. Просто я изчислихме, когато x = x + h. Ако трябва да го повдигаш на квадрат, ако поставя a тук, ще бъде на квадрат. Ако поставя една ябълка ето тук, ще бъде ябълката, повдигната на квадрат. Ако поставя x + h там, ще бъде (x + h)^2. Така че това е ето това нещо. Тогава това нещо тук е просто функцията, изчислена за дадената точка. Точно там. Тоест това е нашето изменение ∆y. И нека да разделим това на нашето изменение ∆x. Нашето изменение ∆x... ако това е x + h, а това е просто x, изменението ∆x просто ще бъде h. Ето от къде получаваме този термин. Това е просто наклонът между тези две точки. Но, разбира се, искаме да намерим... границата в тази точка става по-близка и по-близка до тази точка и тази точка става все по-близка и по-близка до тази точка. Тогава това се превръща в допирателна. Следователно ще търсим границата, когато h клони към 0 и това ще бъде нашето f'(x). И това е точно същото определение за това, вместо да е общ вид и да кажем, за всяка функция ние знаем каква е функцията. Беше f(x) = x^2. Така че всъщност вече го приложихме. Вместо f(x), написахме x^2. Вместо f(x + h), написахме (x + h)^2. Нека да видим дали можем да изчислим тази граница. И така, това ще бъде равно на границата, когато h клони към 0 и повдигаме това на квадрат. Ще го направя в същия цвят. Това е x^2 + 2xh + h^2, а след това имаме това минус x^2 ето тук. Просто умножих този израз ето тук. След това всичко това е разделено на h. Нека да видим дали можем да опростим това малко. Е, веднага забелязваш, че имаш x^2 и имаш минус x^2, така че се унищожават. След това можем да разделим числителя и знаменателя на h. Следователно това се опростява до... вземаме f'(x) е равно на... ако разделим числителя и знаменателя на h, получаваме 2x + h. Съжалявам, забравих моята граница. Равно е на границата. Много е важно. Граница, когато h клони към 0 от всичко, разделено на h, и получаваш 2x + h, защото h^2 разделено на h e h. И ако си спомняш последния урок, когато го направихме с конкретна стойност за x, избрахме x = 3 и получихме 6 + ∆x тук. Или 6 + h тук, така че е много подобно. Ако приемеш, че ограничената стойност h клони към 0, това просто ще изчезне. Следователно това просто ще бъде равно на 2x. И така, просто намерихме, че f(x)... това е огромен резултат. Това е вълнуващо! Това, че ако f(x) = x^2, то f'(x) = 2x. Това е, което току-що открихме. И искам да се уверя, че разбираш как да тълкуваш това. За f(x), ако ми дадеш стойност, ще ти даде стойността на функцията в тази точка. f'(x) ще ти даде колко е наклонът в тази точка. Нека да го начертая. Защото това е ключово разбиране. И може би знаеш, че това е първоначално анти-интуитивно да мислиш за функция, която ни дава наклона във всяка точка от друга функция. Изглежда по следния начин. Нека да го начертая малко по-хубаво. О, все още не е чак толкова хубаво. Това е задоволително. Нека да го начертая в положителни координати. Е, просто ще начертая цялата крива, която изглежда като нещо такова. Това е кривата f(x). Това е кривата f(x) = x^2. Ето така. Ако ми дадеш точка. Например, даваш ми точката 7. Прилагаш това, поставяш го тук. И те отвежда до числото 49. Получаваш числото 49 ето тук. Това е точката (7; 49). Знаеш как да работиш с функции ето тук. Но какво е f'(7)? f'(7) Казваш, че 2*7 = 14. Какво е това число 14 тук? Какво е това нещо? Това е наклонът на допирателната в точката x = 7. Ако трябваше да взема тази точка и да начертая допирателна... точка, която просто докача нашата крива... просто да начертая допирателна. Това не се допираше достатъчно. Така че ето това е моята допирателна. Разбираш идеята. Наклонът на тази права... образуваш отношението ∆y/∆x и ще бъде равен на 14. Наклонът на кривата, когато y = 7, е доста стръмен. Ако искаше да намериш наклона, да кажем, че ето това е y... да кажем, че съответно x = 2. Казах, че за x = 7 наклонът е 14. За x = 2 какъв е наклонът? Изчисляваш f'(2), което е равно на 2 пъти по 2, което е равно на 4. Следователно наклонът тук е 4. Можеш да кажеш, че m = 4. m е за наклон. Колко е f'(0)? f'(0) Знаем, че f(0) = 0, нали така? 0^2 = 0. Но колко е f'(0)? Е, два пъти по 0, е 0. Това също е равно на 0. Но какво означава това? Какво е тълкуването? Означава, че наклонът на допирателната е 0. Права с наклон 0 изглежда ето така. Изглежда точно като хоризонтална права. И това изглежда правилно. Една хоризонтална права ще бъде допирателна към крива в точката y = 0. Нека да опитаме друга стойност. Нека да опитаме точката –1. Нека да кажем, че се намираме точно там. x = –1. За f(–1) просто го повдигаш на квадрат. Защото работим с x^2. Следователно е равно на 1. Това е точката точно ето там. Колко е f'(–1)? f'(–1) = 2*(–1). 2*(–1) = –2 Какво означава това? Означава, че наклонът на допирателната в точката x = 1, към кривата на функцията, е равен на –2. Ако трябваше да начертая допирателната ето тук... допирателната изглежда ето така... и забележи, че е права, която се спуска надолу. И е логично. Наклонът тук е равен на –2.