Секущи линии: предизвикателна задача 2

Питат ни: В кои точки от графиката на функцията f(x) f(x)*f'(x) = 0? Ако имам произведението на две неща и то е равно на нула, това ми подсказва, че поне едно от тези две неща трябва да бъде равно на нула. Първо, нека да видим дали има точки, в които f(x) = 0. Стойностите на f(x) поставяме на вертикалната ос. Бихме могли да кажем, че тази графика ето тук, е y = f(x). И така, има ли точка, за която y = 0 от тази крива? Тя е положителна, положителна, положителна, положителна, положителна. Но точно ето тук намалява. Е, ето тук намалява. След това нараства. След това намалява. И точно ето тук стига до нула, но това не е нито една от означените точки. А от нас искат да изберем една от означените точки, или дори повече от една от тези означени точки. Следователно ще се фокусираме върху това, къде f'(x) = 0. И просто следва да си припомним, какво въобще представлява f'(x). f'(x) представлява наклонът на допирателната линия към графиката на функцията f(x) за тази стойност на x. Например f'(0) – което е стойността x за тази точка ето тук – ще бъде някаква отрицателна стойност. Това е наклонът на допирателната права. Нещо подобно е за f'(x), когато x = 4. Това е, което се случва точно ето тук. Ето това ще бъде наклонът на допирателната права. Ще бъде положителна стойност. Като наблюдаваш всички тези, къде наклонът на допирателната права е нула? И как изглежда наклон нула? Изглежда като хоризонтална линия. Къде наклонът на допирателната права тук е хоризонтален? Единственото, което ми хрумва, е ето тази точка B тук. Изглежда сякаш наклонът на допирателната действително е хоризонтален тук. Друг начин, по който можеш да мислиш за това, е моментната скорост на изменение на функцията точно за x = 2, защото изглежда много близо до това. Тоест, ако това е x = 2, то наклонът изглежда много близо до нула. Следователно измежду всички възможности тук, бих казал, че само за B и x = 2 изглежда, че производната, или наклонът на допирателната права в точка B е f'(2) = 0. Следователно ще избера B. Точно ето тук. След това ни дават този шантав израз ето тук. (f(x) – 6)/x Колко е най-голямата му стойност? Сега следва да разтълкуваме това. Трябва да мислим за това какво всъщност означава това (f(x) – 6)/x? Когато видя изрази като този, особено ако имам урок по диференциално смятане, бих казал, добре, това изглежда като намиране наклона на секуща линия. Всъщност всичко, което знаем за производните, е свързано с намирането на гранична стойност за наклона на секуща линия. А това изглежда като нещо подобно, особено ако в дадена точка стойността y е 6 тук. А това би могло да бъде изменението по y или ∆y. И ако съответната стойност за x е нула, тогава това ще бъде (f(x) – 6)/(x – 0). Тогава имам ли (0; 6) на тази крива? Е, със сигурност. Когато x = 0, виждаме, че f(x) = 6. И така, нека да преработя това, което имаме тук. Това може да се преработи като (f(x) – 6)/(x – 0). x – 0 А какво е това? Какво представлява това? Е, това е равно на наклона... нека да го направя с този цвят... на секущата линия между точките (x, f(x)), т.е. x и каквато е съответната стойност на f(x). И може да го запишем като (0; f(0)), защото виждаме, че f(0) = 6. Това точно ето тук е f(0). Всъщност, нека да запиша това като 6. И точката (0; 6). Нека да преминем всяка от тези точки и да помислим какъв е наклонът на секущата права между тези точки и точка А. Това всъщност е наклонът на секущата права между някаква точка (x; f(x)) и точка А. Нека да го начертаем. И така, между A и B имаме относително отрицателен наклон. Спомни си, че искаме да намерим най-големия наклон. Тук е относително отрицателен. Между A и C е по-малко отрицателен. Между A и D е дори още по-малко отрицателен. Все още е отрицателен, но е по-малко отрицателен. А след това между A и Е става повече отрицателен. След това между A и F става дори още повече отрицателен. Става дори още повече отрицателен между A и F. И така, кога наклонът на секущата права между една от тези точки и точката A, е най-голям? Или предполагам, че можем да кажем, кога е най-малко отрицателен? Защото изглежда, че винаги са отрицателни. Ще бъде между точките D и A. Тогава кога този израз има най-голяма стойност? Е, когато гледаме към точка D. В точка D x е равно на 6 и изглежда, че f(x) е около 5 и 1/2 или нещо такова. И така, ето това ще стане f(6), което е може би 5 и 1/2 или може би е дори още по-малко от това, около 5 и 1/3 или нещо подобно, минус 6 и върху (6 – 0). Ето така получаваме най-голямата стойност на този израз. Това е най-малко отрицателният наклон на секущата права.