Основно съдържание
Диференциално смятане
Курс: Диференциално смятане > Раздел 1
Урок 6: Определяне на граници чрез директно заместване- Определяне на граници чрез директно заместване
- Определяне на граници чрез директно заместване
- Намиране на неопределени граници чрез директно заместване
- Намиране на граници чрез директно заместване: несъществуващи граници
- Граници на тригонометрични функции
- Граници на тригонометрични функции
- Граници на частично определени функции
- Граници на частично определени функции
- Определяне на граници на частично определена функция: абсолютна стойност
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Граници на частично определени функции
Когато търсим граница на частично определена функция, трябва да се уверим, че използваме подходяща дефиниция на функцията, в зависимост от стойността, към която клони x.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека да помислим за малко за граници на частично зададени функции,
които са дефинирани алгебрично, както f(x) ето тук. Спри видеото и виж
дали може да намериш какви ще са тези различни граници, като някои от тях са едностранни, а други са стандартни или двустранни граници. Добре, нека да започнем с първата, т.е. границата, когато x клони към 4 от стойности, по-големи от 4. Това е, което този плюс ни казва. И така, когато x > 4, то f(x) = sqrt(x) (квадратен корен). Следователно, когато се приближаваме
към 4 отдясно, наистина мислим за тази част от функцията. И това ще бъде равно на sqrt(4), въпреки че в точката x = 4 f(x) е равна на ето това, ние се приближаваме със стойности,
по-големи от 4. Приближаваме се отдясно,
така че ще използваме тази част от дефиницията на функцията. Следователно това ще бъде равно на 2. А какво да кажем за границата на f(x), когато се приближаваме към 4 отляво? Тогава бихме използвали тази част
от дефиницията на функцията. И това ще бъде равно на 4 + 2 върху 4 – 1, което е равно на 6/3, което е равно на 2. Следователно, ако искаме да кажем
каква е границата на f(x), когато x клони към 4, това всъщност
е добър случай тук, защото и от лявата и дясна страна, когато x клони към 4, функцията клони към една и съща стойност. А знаем че, за да има двустранната граница, следва да клони към едно и също
нещо отдясно и отляво. Тогава това ще бъде равно на 2. Сега, каква е границата, когато
x клони 2 за f(x)? Е, когато x клони към 2, ще се намираме изцяло в този случай ето тук. Сега, интересни неща се случват
за x = 1 ето тук и знаменателят клони към 0, но за x = 2 тази част от кривата ще бъде непрекъсната. Следователно може просто да заместим
стойността, което ще бъде 2 + 2 върху 2 – 1, което 4/1, което е равно на 4. Нека да решим друг пример. Имаме друга
частично зададена функция и нека да спрем видеото
и да намерим тези неща. Добре, нека да го решим заедно. Каква е границата, когато
x клони към –1 от дясната страна? Ако се приближаваме отдясно, когато x е по-голямо или равно на –1, то ние се намираме в тази част
от нашата частично зададена функция. Следователно бихме казали,
че това ще клони, или това ще бъде 2 на степен –1, което е равно на 1/2. Какво става обаче, ако
се приближаваме отляво? Ако се приближаваме отляво, тогава попадаме в този случай тук, т.е. ние сме отляво на x = –1 и тогава това ще е равно на синуса, и в този случай за нашата
частично определена функция имаме –1 + 1, което е sin(0), което е равно на 0. Сега, каква е
двустранната граница, когато x клони към –1 за g(x)? Приближаваме се към две
различни стойности, когато клони отдясно и когато клони отляво. И ако нашите едностранни граници
не клонят към една и съща стойност, тогава
тази граница не съществува. "Не съществува." А каква е границата за g(x), когато x клони към 0 отдясно? Ако става дума за приближаване
към 0 отдясно, то тогава се намираме в този случай ето тук. Нулата определено
е в този интервал. И в този интервал, ето това тук ще бъде непрекъснато, така че
може просто да заместим x = 0 тук, така че ще получим
2 на нулева степен, което действително е равно на 1.
И сме готови.