Граници на тригонометрични функции

В това видео ще разгледаме границите на някои тригонометрични функции. Ще започнем с един по-лесен пример. Да намерим границата на синус от х при х, клонящо към π. Остави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Знаем, че функциите синус от х, както и косинус от х са определени за всички реални числа. Тяхното дефиниционно множество са всички реални числа. Можеш да заместиш всяко реално число за х и да получиш резултат. Функцията ще е определена за него. Също така, те са непрекъснати за цялото си дефиниционно множество. Всъщност, всички тригонометрични функции са непрекъснати за целите си дефиниционни множества. И така, за синус от х, тъй като е непрекъсната функция, а също и синус от π, е дефинирано, то можем да кажем, че тя е равна на синус от π, което вече знаем, че е равно на 0. Сега можем да направим подобен пример с косинус. Колко е границата при х, клонящо към един произволен ъгъл, например π/4, на косинус от х? Отново, косинус от х е дефинирано за всички реални числа, т.е. х може да е всяко реално число. Също е и непрекъсната. За косинус от х отново имаме, че границата е равна на косинус от π/4. Това е равно на корен от 2 върху 2. Това е един от често срещаните ъгли и е добре да знаем неговите синус и косинус. В градуси този ъгъл е равен на 45 градуса. В общия случай, когато търся граници на функциите синус или косинус, при х клонящо към а, границата на синус от х е равна на синус от а. Повтарям, че това ще е вярно за всяка стойност на а, за всяко реално число а. Аналогично твърдение важи и за косинус от х. Границата на косинус от х, когато х клони към а, е равна на косинус от а. Отново ще повторя, че това е така, защото и двете функции са дефинирани за всички реални числа и са непрекъснати в целите си дефиниционни множества А сега да опитаме с малко по-сложни тригонометрични функции: такива, които не са определени за всички реални числа, т.е. техните дефиниционни множества са малко по-ограничени. Нека за пример вземем границата на тангенс от х, когато х клони към π. На колко ще е равно това? Това всъщност е равно на границата при х, клонящо към π, на тангенс от х, което е синус от х върху косинус от х. И за двете функции знаем, че са дефинирани за π и затова можем да заместим с π. Трябва само да внимаваме да не получим нула в знаменателя, защото това ще води до неопределеност. Получаваме синус от π върху косинус от π, което е нула върху –1, и това е съвсем наред. Ако имахме –1 върху 0, щяхме да имаме неопределеност. Но в нашия случай границата е равна на нула. Това сработи. Но ако търся границата на тангенс от х при х, клонящо към π/2? Остави на пауза и опитай да я намериш. Помисли за това. Тази граница се разлага до границата при х, клонящо към π/2 на синус от х върху косинус от х. Сега имаме синус от π/2, което е 1, но косинус от π /2 е нула. Ако заместим х с π/2, ще получим 1 върху 0. Можем да кажем, че π/2 не е в дефиниционното множество на тангенс от х. Така излиза, че тази граница не съществува. В общия случай, за синус, косинус, секант, косекант, тангенс или котангенс, ако говорим за граница при точка, която е в тяхното дефиниционно множество, то границата е равна на стойността на функцията в тази точка. Но ако търсим граница в точка, която не е в тяхното дефиниционно множество, то най-вероятно тази граница няма да съществува. В този случай границата не съществува. Причината е, че π/2 не е в дефиниционното множество на π/2. На графиката на тангенс от х се вижда вертикална асимптота при π/2. Да направим още един подобен пример. Търсим границата на котангенс от х при х, клонящо към π. Остави видеото на пауза и опитай самостоятелно да намериш тази граница. Един начин на мислене е да представим котангенс от х като 1 върху тангенс от х. Това е косинус от х върху синус от х. Нашата граница е при х, клонящо към π. На това. Дефиниран ли е за π котангенс от х? Явно не: когато заместим х с π, получаваме –1 върху 0. Следователно π не е от дефиниционното множество на котангенс от х. На графиката ще видим вертикална асимптота точно там, за х = π. Следователно границата не съществува. Нямаме граница. Отново причината е, че функцията не е дефинирана тук и има голяма вероятност да няма граница за тази стойност. Когато числото, за което търсим граница, е в дефиниционното множество на тригонометричната функция, то тя ще има определена граница. В частност, синус и косинус са определени за всички реални числа и са непрекъснати за всички реални числа. Затова тяхната граница при произволно реално число ще бъде определена и ще е равна на стойността на функцията в тази точка.