Намиране на неопределени граници чрез директно заместване

Нека сега потърсим границата на х върху натурален логаритъм от х при х, клонящо към 1. Както винаги, остави видеото на пауза и опитай да я намериш самостоятелно. От свойствата на границите знаем, че това е равно на границата на х при х, клонящо към 1, върху границата при х, клонящо към 1, на натуралния логаритъм от х. Тази горната граница, написаната в пурпурно, е доста лесна. Графиката на у = х е непрекъсната навсякъде. Тази функция е определена за всички реални числа и непрекъсната за всички реални числа. Тъй като е непрекъсната, границата на х при х, клонящо към 1, е равна на това за х = 1, значи просто е 1. Заместихме х с 1 тук. Числителят ни е равен на 1. Сега за знаменателя: натуралният логаритъм не е определен за всички числа. Следователно и не е непрекъснат навсякъде. Но той е непрекъснат за х = 1. Тъй като е непрекъснат за х = 1, тази граница е равна на натурален логаритъм при х = 1. Това е просто натурален логаритъм от едно. Това, естествено, е равно на нула. Числото е на степен 0 е 1. Затова целият израз е равен на полученото при х = 1, едно върху... числител едно и знаменател нула. Сега сме изправени пред дилема. 1 / 0 не е определено. Ако беше 0 / 0, то нямаше задължително да сме приключили, но това е междинна форма и както ще научим по-късно, можем да приложим някои инструменти за намиране на граници, за да я изчислим, но това е в случая за 0 / 0. Но тук имаме 1 / 0, това е неопределено, което ни казва, че тази граница не съществува. Записвам: не съществува. И сме готови.