If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:59

Видео транскрипция

В предишното видео опитахме да изведем донякъде издържана дефиниция за граница, която твърди, че границата на f(x) при х, клонящо към с, е равна на L, когато можем да доведем f(x) произволно близо до L, като ограничим х да е достатъчно близо до с. Сега ще добавим съдържание към това. Вместо да казваме „произволно близко‟, ще използваме за това положителното число епсилон. Тук ще използвам гръцката малка буква ε, това е епсилон. Вече сме в играта. Ти казваш колко близко искаш... Това са правилата: Ти ми казваш колко близко искаш f(x) да бъде до L: правиш това, като ми даваш положително число, наречено епсилон, което означава колко близко искаш f(x) да бъде до L. Даваш положителното число епсилон. Епсилон е желаната от теб точност. Колко е тя? Например, ако епсилон е 0,01, това означава, че искаш f(x) да бъде до 0,01 от L. Моята задача е да взема това епсилон, което ти ми даде, и да ти върна друго положително число, което ще наречем делта: гръцката малка буква δ, така че, когато х се намира на разстояние от с най-много δ, f(x) да бъде най-много на ε от нашата граница. Да проверим дали са еднакви двете определения, жълтото отгоре казва, че можем да докараме f(x) произволно близо до L, като направим х достатъчно близо до с. Второто определение, което изглежда като правилата на игра, прави същото нещо. Единият играч казва колко близко до L иска f(x) да бъде, а другият има задачата да намери такава делта, за която докато х е на не повече от делта разстояние от с, f(x) да е на разстояние не повече от епсилон от границата. Ето какво правят те: казват, че ако ограничим х по такъв начин, че то да е в даден интервал около с, f(x) ще бъде произволно близо до L. За да е по-ясно, ще използвам графика. Да проиграем: ти идваш и ми казваш f(x) да бъде на разстояние до даден епсилон от границата. Тази точка показва нашата граница плюс епсилон, а тази е нашата граница минус епсилон. И аз ти отговарям: няма проблем! Мисля, че ще успея да вкарам f(x) в този интервал около границата. Ще го направя, като задам интервал около с. Мога да видя този интервал. Дори да го стесниш още повече, и аз мога да стесня моя. Така ще изпълня всяко твое предизвикателство, като намеря друго число делта. Тук имам с плюс делта, а тук имам с минус делта, ще го запиша. И така, ще ти намеря такова число делта, че за всяко х в интервала между с минус делта и с плюс делта, дори и функцията да не е определена за с, ще вземем други числа, които не са равни на с, но са близки; за всяко х в този интервал съответното му f(x) ще бъде в желаната от теб близост до границата. То ще е в интервала между L плюс епсилон и L минус епсилон. Има ли друг начин да изразим това? Ако ми дадеш епсилон, аз ще ти намеря делта. Сега ще го напиша с математически запис. Ще напиша същите твърдения, но използвайки математика. Те ще означават същото. Ще го напиша така: За дадено ε > 0 (това е ролята на първия играч) можем да намерим такова δ > 0, че когато х се намира на δ от с... има ли друг начин да опишем това разстояние? Можем да кажем, че разстоянието между х и с е по-малко от δ. Това твърдение е вярно за всяко х, отстоящо до δ от с. Разликата между двете ще е по-малка от δ. И така, ако изберем кое да е х от интервала между с – δ и с + δ, то тези х ще изпълняват следното условие: ще го запиша в друг цвят; разстоянието между съответното му f(x) и границата, ето така обозначавам разстоянието, ще бъде по-малко от ε. Всичко това казва, че ако границата наистина съществува и е равна на L, то когато ми дадеш произволно ε>0, дори и да е съвсем, съвсем малко число, ще мога да намеря делта, което да определя интервал около с, в който като вземем произволно х отстоящо до делта от с... така записвам, че разликата между х и с е по-малка от делта; това на графиката са тези точки тук... и функцията за тези х ще приема стойности в зададения от теб интервал. Тя ще е до епсилон разстояние от границата. Разликата между f(x) и нашата граница ще бъде по-малка от епсилон. Нашето f(x) ще се намира някъде тук. Това ни казва епсилон-делта определението. В следващото видео ще докажем, че дадена граница съществува, като изполваме това определение за граници.