If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Формално определение на граници, част 3: определението

Определението на Коши за граници гласи, че границата на функцията f(x) в точката x=c е равна на L, ако за всяко число ε>0 съществува число δ>0, такова че, ако разстоянието до x от c е по-малко от δ, то разстоянието до f(x) от L е по-малко от ε. Това е формулировка на интуитивното значение, че може да се приближим колкото повече искаме до L. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишното видео опитахме да изведем донякъде издържана дефиниция за граница, която твърди, че границата на f(x) при х, клонящо към с, е равна на L, когато можем да доведем f(x) произволно близо до L, като ограничим х да е достатъчно близо до с. Сега ще добавим съдържание към това. Вместо да казваме „произволно близко‟, ще използваме за това положителното число епсилон. Тук ще използвам гръцката малка буква ε, това е епсилон. Вече сме в играта. Ти казваш колко близко искаш... Това са правилата: Ти ми казваш колко близко искаш f(x) да бъде до L: правиш това, като ми даваш положително число, наречено епсилон, което означава колко близко искаш f(x) да бъде до L. Даваш положителното число епсилон. Епсилон е желаната от теб точност. Колко е тя? Например, ако епсилон е 0,01, това означава, че искаш f(x) да бъде до 0,01 от L. Моята задача е да взема това епсилон, което ти ми даде, и да ти върна друго положително число, което ще наречем делта: гръцката малка буква δ, така че, когато х се намира на разстояние от с най-много δ, f(x) да бъде най-много на ε от нашата граница. Да проверим дали са еднакви двете определения, жълтото отгоре казва, че можем да докараме f(x) произволно близо до L, като направим х достатъчно близо до с. Второто определение, което изглежда като правилата на игра, прави същото нещо. Единият играч казва колко близко до L иска f(x) да бъде, а другият има задачата да намери такава делта, за която докато х е на не повече от делта разстояние от с, f(x) да е на разстояние не повече от епсилон от границата. Ето какво правят те: казват, че ако ограничим х по такъв начин, че то да е в даден интервал около с, f(x) ще бъде произволно близо до L. За да е по-ясно, ще използвам графика. Да проиграем: ти идваш и ми казваш f(x) да бъде на разстояние до даден епсилон от границата. Тази точка показва нашата граница плюс епсилон, а тази е нашата граница минус епсилон. И аз ти отговарям: няма проблем! Мисля, че ще успея да вкарам f(x) в този интервал около границата. Ще го направя, като задам интервал около с. Мога да видя този интервал. Дори да го стесниш още повече, и аз мога да стесня моя. Така ще изпълня всяко твое предизвикателство, като намеря друго число делта. Тук имам с плюс делта, а тук имам с минус делта, ще го запиша. И така, ще ти намеря такова число делта, че за всяко х в интервала между с минус делта и с плюс делта, дори и функцията да не е определена за с, ще вземем други числа, които не са равни на с, но са близки; за всяко х в този интервал съответното му f(x) ще бъде в желаната от теб близост до границата. То ще е в интервала между L плюс епсилон и L минус епсилон. Има ли друг начин да изразим това? Ако ми дадеш епсилон, аз ще ти намеря делта. Сега ще го напиша с математически запис. Ще напиша същите твърдения, но използвайки математика. Те ще означават същото. Ще го напиша така: За дадено ε > 0 (това е ролята на първия играч) можем да намерим такова δ > 0, че когато х се намира на δ от с... има ли друг начин да опишем това разстояние? Можем да кажем, че разстоянието между х и с е по-малко от δ. Това твърдение е вярно за всяко х, отстоящо до δ от с. Разликата между двете ще е по-малка от δ. И така, ако изберем кое да е х от интервала между с – δ и с + δ, то тези х ще изпълняват следното условие: ще го запиша в друг цвят; разстоянието между съответното му f(x) и границата, ето така обозначавам разстоянието, ще бъде по-малко от ε. Всичко това казва, че ако границата наистина съществува и е равна на L, то когато ми дадеш произволно ε>0, дори и да е съвсем, съвсем малко число, ще мога да намеря делта, което да определя интервал около с, в който като вземем произволно х отстоящо до делта от с... така записвам, че разликата между х и с е по-малка от делта; това на графиката са тези точки тук... и функцията за тези х ще приема стойности в зададения от теб интервал. Тя ще е до епсилон разстояние от границата. Разликата между f(x) и нашата граница ще бъде по-малка от епсилон. Нашето f(x) ще се намира някъде тук. Това ни казва епсилон-делта определението. В следващото видео ще докажем, че дадена граница съществува, като изполваме това определение за граници.