If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Формално определение на граници, част 4: прилагане на определението

Виж как се използва определението за граница. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишното видео се запознахме с епсилон-делта определението за граници, което за твърдението, че границата на f(x) при х, клонящо към с е равна на L, тогава по определение трябва за произволно положително число епсилон, показващо желана близост на f(x) до L, винаги да можем да намерим такова делта по-голямо от 0, така че, ако разстоянието от х до с е по-малко от делта, то f(x) да е на разстояние, по-малко от епсилон до L. Ако можем да намерим делта за всяко епсилон, тогава можем да твърдим, че L наистина е границата на f(x) за х, клонящо към с. Знам какво ще си помислиш. Всичко това изглежда много абстрактно. Искам някак да го видя в действие. Точно това ще направим в това видео: ще използваме определението, за да докажем, че една граница съществува. Тук е дефинирана функцията f(x). Тя е равна на 2х навсякъде, освен за х = 5. Значи, за всички останали стойности на х тя е 2х, но за х = 5, функцията е равна само на х. В този случай мога да напиша и само 5: тя е равна на 5 за х= 5. Равна е на себе си. Тук имаме нейната графика. Навсякъде другаде изглежда като 2х, но в х = 5 не се намира на правата 2х. Вместо това, там функцията е дефинирана като 5, това е тази точка тук. Търсим границата на f, когато х клони към 5. Използвай интуиция. Да видим. Колкото повече се доближаваме до 5, толкова по-близко f(х) изглежда да е до 10. И дори само по интуиция може да твърдиш, че границата на f(x), когато х клони към 5 е равна на 10. Така изглежда. Но сега ще приложим епсилон-делта определението, за да докажем това. Както при повечето доказателства, ще дефинираме абстрактно делта. После ще потърсим начин за всяко дадено епсилон винаги да намерим делта. С други думи, ще опитаме да представим делта като функция на епсилон, за да стане по-ясно. Няма да повтарям f. Ще опиша делта като функция от епсилон, дефинирана за всяко положително число епсилон. И така, даваш ми епсилон и аз просто го замествам в тази функция. Така винаги ще получа делта. И щом мога да направя това за всеки даден епсилон, тогава определението ще бъде изпълнено: за всяко х на разстояние делта от с ще има f(x) на разстояние епсилон от L. От това ще следва, че тази граница съществува. И така, да опитаме. Да помислим, че сме до делта разстояние от нашето с. На графиката тук е 5 + делта, а тук е 5 минус делта. Намираме се в този интервал. Първо ще помислим абстрактно. После ще търсим самата формула за делта, изразено чрез епсилон. Как можем да опишем всички х от този интервал, освен самото х = 5? Защото всъщност ни интересуват само числата в делта околност около 5, но не задължително и самото 5. Тук имаме строго по-малко, значи х е в интервала (c – δ; c + δ), като х не става равно на с. Това са всички х, които изпълняват неравенството |х – 5| < δ. То описва всички х в нашия интервал. Сега ще следваме обичайния ход на тези доказателства: ще работим с лявата страна на неравенството, за да започне да прилича точно на лявата част от другото неравенство. Като го направим, дясната част на неравенството ще е изразена чрез δ и ще можем да кажем: щом отдясно е изразено чрез δ, а отляво изглежда по ето такъв начин, то това определя изразяване на делта чрез епсилон. Ако още не ти е ясно, имай малко търпение. Скоро ще стане. И така, искаме х – 5 да изглежда по този начин. Какво знаем? В целия този интервал, но без х = 5 имаме, че f(x) е равно на 2х. Предположението ни е, че границата е равна на 10. Ако можем някак да стигнем от това до 2x – 10, ще сме на прав път. Най-лесният начин за това е да умножим двете страни на неравенството по 2. 2 по абсолютната стойност на нещо е абсолютната стойност на 2 по него. Ако имам 2 по абсолютната стойност на а, това ще е равно на абсолютната стойност на 2а. Тук отляво ще имаме абсолютната стойност на 2х – 10. Това ще е по-малко от дясната страна, умножена по 2: 2 по делта. Какво имаме сега от лявата страна? Това е равно на f(x) в случая на х различно от 5. А това тук е нашата граница. Вече можем да го запишем като |f(x) – L| < 2δ. Това е при условие, че х е различно от 5. Нали? Тези са f(x) и границата. Стана интересно Полученото неравенство е почти същото, като търсеното неравенство, само че десните им страни са различни. Едното е изразено чрез епсилон, а другото – чрез делта. Как можем да изразим делта, за да получим 2δ = ε? Това е нашата възможност. Ето тук ще изразим делта като функция на епсилон. Ще направим 2δ = ε. Ако разделим двете страни на 2, ще имаме δ = 1/2 ε. Ако направим делта равно на... Ще сменя цвета за разнообразие. Ако имаме δ = 1/2 ε, тогава това твърдение ще стане, че абсолютната стойност на f(x) - L е по-малка от, вместо 2δ, ще имаме 2 по 1/2 ε. Това е същото, като да е по-малко от ε. Тук се разплита. Ако някой ти даде положителното число еспилон за тази функция докато δ = 1/2 ε, тогава за всяко х в този интервал съответното му f(x) ще бъде в интервала до ε около границата. Това означава, че... Не забравяй, това ще е вярно за всяко положително епсилон. Виждаш как ще върви играта: някой ти дава епсилон, да кажем 0,5. Границата е тук, епсилон е 0,5. Буквално ще искам функцията да е в интервала (9,5; 10,5). 10 - ε е равно на 9,5, а 10 + ε е 10,5. Току-що намерихме и формула, която изразява делта като епсилон по 1/2. Това е равно на 0,25. Това ни дава интервала (4,75; 5;25) за х. Докато х се намира в този интервал, но не е равно на 5, съответното му f(x) ще бъде между 9,5 и 10,5. Какво стана? Ти ми даваш произволен ε, аз прилагам тази формула и намирам делта! Това работи за всяко реално число... за всяко положително число. Какъвто и епсилон да ми дадеш, ще получа делта, определена чрез тази формула и ще изпълня условието: ако абсолютната стойност на х – 5 е по-малка от делта, а делта е намерена по този начин, който мога да намеря за всеки епсилон, то тогава f(x) ще бъде в епсилон околността около границата.