Формално определение на граници, част 4: прилагане на определението

В предишното видео се запознахме с епсилон-делта определението за граници, което за твърдението, че границата на f(x) при х, клонящо към с е равна на L, тогава по определение трябва за произволно положително число епсилон, показващо желана близост на f(x) до L, винаги да можем да намерим такова делта по-голямо от 0, така че, ако разстоянието от х до с е по-малко от делта, то f(x) да е на разстояние, по-малко от епсилон до L. Ако можем да намерим делта за всяко епсилон, тогава можем да твърдим, че L наистина е границата на f(x) за х, клонящо към с. Знам какво ще си помислиш. Всичко това изглежда много абстрактно. Искам някак да го видя в действие. Точно това ще направим в това видео: ще използваме определението, за да докажем, че една граница съществува. Тук е дефинирана функцията f(x). Тя е равна на 2х навсякъде, освен за х = 5. Значи, за всички останали стойности на х тя е 2х, но за х = 5, функцията е равна само на х. В този случай мога да напиша и само 5: тя е равна на 5 за х= 5. Равна е на себе си. Тук имаме нейната графика. Навсякъде другаде изглежда като 2х, но в х = 5 не се намира на правата 2х. Вместо това, там функцията е дефинирана като 5, това е тази точка тук. Търсим границата на f, когато х клони към 5. Използвай интуиция. Да видим. Колкото повече се доближаваме до 5, толкова по-близко f(х) изглежда да е до 10. И дори само по интуиция може да твърдиш, че границата на f(x), когато х клони към 5 е равна на 10. Така изглежда. Но сега ще приложим епсилон-делта определението, за да докажем това. Както при повечето доказателства, ще дефинираме абстрактно делта. После ще потърсим начин за всяко дадено епсилон винаги да намерим делта. С други думи, ще опитаме да представим делта като функция на епсилон, за да стане по-ясно. Няма да повтарям f. Ще опиша делта като функция от епсилон, дефинирана за всяко положително число епсилон. И така, даваш ми епсилон и аз просто го замествам в тази функция. Така винаги ще получа делта. И щом мога да направя това за всеки даден епсилон, тогава определението ще бъде изпълнено: за всяко х на разстояние делта от с ще има f(x) на разстояние епсилон от L. От това ще следва, че тази граница съществува. И така, да опитаме. Да помислим, че сме до делта разстояние от нашето с. На графиката тук е 5 + делта, а тук е 5 минус делта. Намираме се в този интервал. Първо ще помислим абстрактно. После ще търсим самата формула за делта, изразено чрез епсилон. Как можем да опишем всички х от този интервал, освен самото х = 5? Защото всъщност ни интересуват само числата в делта околност около 5, но не задължително и самото 5. Тук имаме строго по-малко, значи х е в интервала (c – δ; c + δ), като х не става равно на с. Това са всички х, които изпълняват неравенството |х – 5| < δ. То описва всички х в нашия интервал. Сега ще следваме обичайния ход на тези доказателства: ще работим с лявата страна на неравенството, за да започне да прилича точно на лявата част от другото неравенство. Като го направим, дясната част на неравенството ще е изразена чрез δ и ще можем да кажем: щом отдясно е изразено чрез δ, а отляво изглежда по ето такъв начин, то това определя изразяване на делта чрез епсилон. Ако още не ти е ясно, имай малко търпение. Скоро ще стане. И така, искаме х – 5 да изглежда по този начин. Какво знаем? В целия този интервал, но без х = 5 имаме, че f(x) е равно на 2х. Предположението ни е, че границата е равна на 10. Ако можем някак да стигнем от това до 2x – 10, ще сме на прав път. Най-лесният начин за това е да умножим двете страни на неравенството по 2. 2 по абсолютната стойност на нещо е абсолютната стойност на 2 по него. Ако имам 2 по абсолютната стойност на а, това ще е равно на абсолютната стойност на 2а. Тук отляво ще имаме абсолютната стойност на 2х – 10. Това ще е по-малко от дясната страна, умножена по 2: 2 по делта. Какво имаме сега от лявата страна? Това е равно на f(x) в случая на х различно от 5. А това тук е нашата граница. Вече можем да го запишем като |f(x) – L| < 2δ. Това е при условие, че х е различно от 5. Нали? Тези са f(x) и границата. Стана интересно Полученото неравенство е почти същото, като търсеното неравенство, само че десните им страни са различни. Едното е изразено чрез епсилон, а другото – чрез делта. Как можем да изразим делта, за да получим 2δ = ε? Това е нашата възможност. Ето тук ще изразим делта като функция на епсилон. Ще направим 2δ = ε. Ако разделим двете страни на 2, ще имаме δ = 1/2 ε. Ако направим делта равно на... Ще сменя цвета за разнообразие. Ако имаме δ = 1/2 ε, тогава това твърдение ще стане, че абсолютната стойност на f(x) - L е по-малка от, вместо 2δ, ще имаме 2 по 1/2 ε. Това е същото, като да е по-малко от ε. Тук се разплита. Ако някой ти даде положителното число еспилон за тази функция докато δ = 1/2 ε, тогава за всяко х в този интервал съответното му f(x) ще бъде в интервала до ε около границата. Това означава, че... Не забравяй, това ще е вярно за всяко положително епсилон. Виждаш как ще върви играта: някой ти дава епсилон, да кажем 0,5. Границата е тук, епсилон е 0,5. Буквално ще искам функцията да е в интервала (9,5; 10,5). 10 - ε е равно на 9,5, а 10 + ε е 10,5. Току-що намерихме и формула, която изразява делта като епсилон по 1/2. Това е равно на 0,25. Това ни дава интервала (4,75; 5;25) за х. Докато х се намира в този интервал, но не е равно на 5, съответното му f(x) ще бъде между 9,5 и 10,5. Какво стана? Ти ми даваш произволен ε, аз прилагам тази формула и намирам делта! Това работи за всяко реално число... за всяко положително число. Какъвто и епсилон да ми дадеш, ще получа делта, определена чрез тази формула и ще изпълня условието: ако абсолютната стойност на х – 5 е по-малка от делта, а делта е намерена по този начин, който мога да намеря за всеки епсилон, то тогава f(x) ще бъде в епсилон околността около границата.