Безкрайни граници и асимптоти

В това видео предстои да използваме онлайн калкулатора за графики Desmos и да разгледаме свойствата на вертикалните и хоризонталните асимптоти, за да видим каква е връзката им с нашите познания за границите. Най-напред да начертаем 2/(х – 1). Аз ще покажа графиката на този израз, за да можеш веднага да видиш какво интересно поведение има при х = 1. Ако просто заместиш с х = 1 в този израз, ще получиш 2/0 и винаги, когато получиш ненулево число върху нула, това е знак, че може би има вертикална асимптота. В нашия случай можем да начертаем вертикалната асимптота при х = 1. Но да помислим каква е връзката с границите. Да изследваме границата при х, клонящо към 1 на f(x) = 2 / (х - 1). Можем да помислим за лявата и за дясната граница. Да започнем с лявата. Виждаме, че когато х приближава към 1 отляво, за х=0 функцията ще е равна на –2, а за х = 0,5 функцията f(x) е равна на –4, и после отива все по-надолу, когато се доближаваме до 1 отляво. Мога и да продължа да се доближавам: за х=0,91 съм все още на 9 стотни от 1, а f(x) вече е равна на 22,222. И така, лявата граница при х, клонящо към 1 е неограничена, и някои твърдят, че е равна на минус безкрайност, но всъщност е неопределена граница, тя е неограничена в отрицателна посока. Аналогично за дясната граница получаваме, че е неограничена в положителна посока. На практика можем да кажем, че границата не съществува. Такъв е случаят, когато имаме вертикална асимптота, както е тук. Сега да направим сравнение с хоризонталната асимптота, където се оказва, че границата може да съществува. Засега ще махна тази графика, за да разгледаме друга функция. Тя е добра за целта, измислих я малко преди да започнем с видеото и графиката ѝ ми харесва. Да помислим за поведението ѝ, когато х клони към безкрайност. Когато х се стреми към безкрайност, нашето у или стойността на израза, ако кажем, че у е равен на него, отива все по-близко до 3. Затова можем да кажем, че имаме хоризонтална асимптота при у = 3, но има и по-точен начин да я определим: да кажем, че границата при х, клонящо към безкрайност, е равна на израза или на самата функция при х=3. Забележи, че когато х става все по-голямо, у е все по-близо до 3. Всъщност се доближаваме толкова много, че може да видиш как стигаме почти до 3. Може да помислиш и какво се случва, когато х отива към минус безкрайност; тук се приближаваме все по-близо до три отдолу. Интересното при хоризонталните асимптоти, е, че както виждаш тук, функцията може да ги пресича. Тя пресича тази хоризонтална асимптота ето тук по средата, и дори в околностите на +/– безкрайност може да се движи като вълна около своята хоризонтална асимптота. Нека сега умножа това по синус от х. Ето, тук виждаме как графиката прави вълна около хоризонталната асимптота. При тази функция също границата съществува, макар да пресича хоризонталната асимптота, тя се доближава все повече до нея, колкото по-голямо става х. Това е и основната разлика между хоризонталната и вертикалната асимптота. Вертикалните асимтоти на дадена функция не могат да се пресичат от нейната графика, докато хоризонталните асимптоти могат да се пресичат, и все пак графиката се доближава все повече до тях, когато х клони към плюс безкрайност или към минус безкрайност.