Граници на комбинации от функции: частично определени функции

От нас искат да намерим на какво са равни тези три различни граници. Насърчавам те, както винаги, да спреш видеото и да се опиташ да решиш задачата самостоятелно, преди да го направим заедно. Когато търсиш ето тази първата, може просто да опиташ да намериш границата, когато х клони към минус 2 за f от х, след това границата, когато х клони към минус 2 за g от х, а след това да ги събереш. Но бързо ще се сблъскаш с проблем, защото когато търсиш границата, когато х клони към минус 2 за f от х, изглежда, че когато се приближаваме до минус 2 отляво, то функцията клони към 1. Когато се приближаваме към х равно на минус 2 отдясно, изглежда, че функцията клони към 3. Следователно, изглежда, че границата, когато х клони към минус 2 за f от х, не съществува. Същото нещо е валидно и за g от х. Ако се приближаваме отляво, изглежда, че функцията клони към 3. Ако се приближаваме отдясно, изглежда, че функцията клони към 1. Все пак изглежда обаче, че тази граница може да съществува, доколкото, когато търсим границата за х клонящо към минус 2, отляво на сумата, f от х плюс g от х, съществува и е равна на границата, когато х клони към минус 2 отдясно на сумата f от х плюс g от х. Какво означава това? Когато се приближаваме към минус 2 отляво, изглежда, че f от х клони към 1, a g от х клони към 3. Изглежда, че функциите клонят съответно към 1 и 3. Изглежда, че този израз, т.е. сумата, клони към 4. А ако се приближаваме отдясно, изглежда, че f от х клони към 3, а g от х изглежда, че клони към 1. Отново сумата е равна на 4. И поради това, че лявата и дясна граници клонят към една и съща стойност, може да заявим, че тази граница съществува и е равна на 4. Нека сега да решим следващия пример, когато х клони към 1. Ще направим абсолютно същото упражнение. Отново, ако разглеждаш отделните граници за f от х, когато х клони към 1 отляво и отдясно, то границата не съществува. Но границата на сумата, когато х клони към 1, може да съществува. Нека да го проверим. Когато х клони към 1, от лявата страна на f от х плюс g от х, то на какво ще бъде равна границата? Когато х се приближава към 1 отляво, f от х изглежда, че клони към 2. Записвам го така за по-кратко. А g от х, когато се приближаваме към 1 отляво изглежда, че клони към 0. Следователно, сумата ще клони към 2 плюс 0, което е равно на 2. Разглеждаме границата, когато х клони към 1 от дясната страна на f от х плюс g от х. Ще бъде равна на следното. Когато х клони към 1, от дясната страна, изглежда, че f от х клони към минус 1. А за g от х, когато х клони към 1, от дясната страна, изглежда, че функцията отново клони към 0. Тогава изглежда, че сумата клони към минус 1. Следователно лявата и дясна граници не клонят към една и съща стойност. Следователно тази втора граница не съществува. Следва последната по ред, но не и по значение. х клони към 1 за f от х по g от х. Тук ще използваме същия метод. Границата, когато х клони към 1 от лявата страна, на f от х по g от х. Може да използваме стойностите от предната граница. Виждаме, че когато х клони към 1 отляво, то функцията f от х клони към 2. А когато х клони към 1 отляво ето тук, то функцията g от х клони към 0. Произведението клони към 2 по 0, което е равно на 0. Нека да разгледаме дясната граница. х клони към 1 отдясно, на f от х по g от х. Вече видяхме, че когато х клони към 1 отдясно, за f от х, то функцията клони към минус 1. g от х обаче, когато х клони към 1 отдясно, отново клони към 0. Тогава произведението отново ще бъде равно на 0, т.е. границата съществува. Получава се една и съща граница, когато се приближаваме към 1 отляво и отдясно. Границата е равна на 0. Това са много интересни примери, защото понякога си мислиш, че съставните граници не съществуват – което означава, че сумата или произведението не съществуват – но тук разгледахме поне два примера, където случаят не е такъв.