Основно съдържание
Диференциално смятане
Курс: Диференциално смятане > Раздел 1
Урок 5: Свойства на границите- Свойства на границите на функции
- Граници на комбинации от функции
- Граници на комбинации от функции: частично определени функции
- Граници на комбинация от функции: суми и разлики от функции
- Граници на комбинация от функции: произведение и частно
- Теорема за границите на сложни функции
- Теорема за границите на сложни функции: при неизпълнение на условията
- Граници на сложни функции: границата на вътрешната функция не съществува
- Граници на сложни функции: границата на външната функция не съществува
- Граници на сложни функции
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Граници на сложни функции: границата на външната функция не съществува
Намиране на границата на сложната функция g(h(x)) в x=1, когато границата на вътрешната функция h(x) в x=1 е 2, а границата на външната функция g(x) в x=2 не съществува. Означава ли това, че границата на сложната функция не съществува? Не е задължително! Виж как анализираме това. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадени са ни две функции, които за зададени
графично. Отляво е графиката на
функцията g от х, а отдясно е графиката
на функцията h от х. Искаме да намерим границата на функцията
g от h от х за х клонящо към 1. Постави видеото на пауза
и опитай да намериш тази граница. Сега да я намерим заедно. Първото нещо, което
може би опита, е да намериш границата на h от х
за х клонящо към 1. И каква е тази граница? Когато х клони към 1 отляво, изглежда че h от х клони към 2. Когато х клони към 1
отдясно, изглежда, че h от х клони към 2. Следователно границата
на h от х е равна на 2. Да видим... След това можем
да заместим тази граница в g. Колко е g от 2? g от 2 е равно на нула, но по същество изглежда, че
границата не е дефинирана. Изглежда, че като
приближаваме 2 отдясно, функцията g клони към нула. А когато приближаваме
2 отляво, функцията g клони
към минус 2. Може би тази граница
не съществува. Но ако направиш този извод, той изглежда не е
достатъчно обмислен, защото можем да разгледаме
тази граница от гледна точка на
левите и десните граници. Да го разгледаме
по този начин. Първо да намерим границата на g от h от х,
когато х клони към 1 отляво. Когато разсъждаваме
по този начин, ако х клони към 1
отляво ето тук, виждаме, че стойността
на функцията h клони към 2 отляво. Можем да кажем, че клони
към 2 отдолу. Значи аргументът на g от х клони към 2 отдолу. Аргументът на g
клони към 2 отдолу. Когато аргументът клони
към две отдолу, към какво клони стойността
на функцията g? Изглежда, че функцията g
клони към минус 2. Изглежда, че границата
ще бъде равна на –2, или поне лявата граница. Сега да определим
дясната граница. Коя е границата на g от h от х,
когато х клони към 1 отдясно? Ще направим същото нещо. Когато х клони към 1 отдясно, изглежда, че h клони
към 2 отдолу, от стойности, по-малки от 2. Значи щом аргументът
клони към 2 отдолу – спомни си, стойността на функцията h
е аргумент на функцията g. Ако аргументът на
функцията g клони към 2 отдолу, това означава, че
функцията g, отново, ще клони към
минус 2. Това е един много,
много интересен пример, в който границата на g
не съществува, когато х клони към 2. Но като разгледаме
вътрешната функция h от х, когато х клони и отляво,
и отдясно към тази стойност, виждаме, че h
клони към 2 отдолу. Така че ни интересува
само лявата граница, когато g клони отдолу
или отляво към 2, защото и в двата случая
тя клони към минус 2. Следователно това
е границата на функцията g. Когато лявата и дясната граница
са равни на една и съща стойност, тази стойност е границата. Границата е равна
на минус 2.