Граници на сложни функции: границата на вътрешната функция не съществува

Да се упражним още малко в намирането на граници на сложни функции. Търсим границата на функцията g от h от х за х клонящо към минус 1. Функцията g е зададена графично тук отляво, а функцията h е зададена графично на чертежа отдясно. Постави видеото на пауза и опитай да намериш границата. Може би най-напред се изкушаваш да намериш границата на функцията h от х, когато х клони към минус 1, и ако тази граница съществува, да я използваш като аргумент на g. Ако намерим границата на функцията h от х за х клонящо към минус 1, виждаме, че тук има различни граници, когато приближаваме отдясно и когато приближаваме отляво. На този етап е възможно да решиш да се откажеш, но в предходното видео се убедихме, че границата на сложната функция реално може да съществува, дори когато не съществува границата на функцията h от х за х клонящо към минус едно. Как установяваме това? Можем да намерим десните и левите граници. Първо да намерим границата на g от h от х, когато х приближава минус 1 отдясно. Колко е границата на h от х, когато х клони към минус 1 отдясно? Когато х приближава минус 1 отдясно, изглежда, че h клони към минус 2. Друг начин за разсъждение е, че това е равно на границата, когато h от х клони към минус 2, а от каква посока клони h от х към минус 2? То клони към минус 2 от стойности, по-големи от минус 2. h от х намалява до минус 2, когато х клони към минус едно отдясно. Значи търсим границата на g от h от х, когато h от х приближава от стойности, по-големи от минус 2, Използвам различни цветове, за да можем да проследим какво се случва. Това е аналогично на това да търсим границата на g, ако разглеждаме случая, когато х клони към минус 2 от положителни стойности. Тук стойността на функията h е просто аргументът на функцията g. Следователно този аргумент на функцията g клони към минус 2 отгоре, или може би трябва да кажа отдясно, от стойности, които са по-големи от минус 2. Виждаме, че стойността на функцията g клони към 3. Значи тази граница е равна на 3. Сега да видим колко е границата на g от h от х, когато х клони към минус 1 отляво. Първо да видим към какво клони h, когато х клони към минус 1 отляво. Когато х клони към минус 1 отляво, изглежда, че стойността на функцията h клони към минус 3. Можем да кажем, че границата на h от х клони към минус 3, и тя клони към минус 3 от стойности, които са по-големи от минус 3. h от х клони към минус 3 отгоре, или можем да кажем – от стойности по-големи от минус 3. Тогава границата на g от h от х... Друг начин да разсъждаваме е, да намерим границата, когато аргументът на g клони към минус 3 отдясно. Когато той клони към минус 3 отдясно, стойността на функцията g е равна на 3, т.е. и тази граница е равна на 3. Обърни внимание, че и лявата, и дясната граница в този случай са равни на 3. Когато лявата и дясната граница са равни на една и съща стойност, тогава знаем, че границата е равна на тази стойност. Това е един много хубав пример, защото границата на вътрешната функция ето тук – границата на h от х не съществува, но въпреки това границата на сложната функция съществува.