Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 1

Урок 8: Стратегия за намиране на граници

Стратегия за намиране на граници

Има много методи за намиране на граници, които се прилагат при различни условия. Важно е да се познават всички тези техники, но също е важно да се знае кога може да се приложи всяка от тях.

Тази полезна диаграма може да ти помогне при намирането на граници.

На диаграмата има варианти от A до H, както следва. Стъпкта A, директно заместване. Опитай да изчислиш функцията директно. Изчисляването на стойността на f от a води до варианти от B до D. Вариант B: f от a = b, дробна черта, 0, където b е различно от нула. Полученият резултат е асимптота (вероятно). Пример: границата на 1 върху, дробна черта, x минус 1 в знаменателя, като х клони към 1. Разгледай графиката или таблични стойности на функцията, за да научиш повече за функцията, когато x = a. Вариант C: f от a = b, като b е реално число. Резултатът е границата (вероятно). Пример: границата на x на квадрат, когато x клони към 3 = 3 на квадрат = 9. Вариант D: f от a = 0 върху 0 в знаменателя. Резултатът е недефиниран. Пример: границата на, дробна черта, x на квадрат, минус x, минус 2; в знаменателя x на квадрат, минус 2 по x, минус 3, край на дробта, като x клони към минус 1. Ако получиш вариант D, опитай да преработиш границата в еквивалентен вид. Това води до варианти от E до G. Вариант E: разлагане на множители. Пример: границата на, дробна черта, х на квадрат, минус х, минус 2 в числителя, върху х на квадрат минус 2 по х, минус 3 в знаменателя, край на дробта, като x клони към минус 1, което може да се представи като границата на, дробна черта, в числителя х минус 2, в знаменателя х минус 3, край на дробта, за х клонящо към минус 1, за което използваме разлагане на множители и съкращаване на еднаквите множители. Вариант F: спрегнати. Пример: границата на, дробна черта, в числителя корен квадратен от х, край на корена, минус 2, в знаменателя х минус 4, край на дробта, за х клонящо към 4, което може да се представи като граница на, дробна черта, 1 делено на корен квадратен от x, край на корена, + 2, край на дробта, за x клонящо към 4, с използване на спрегнати и съкращаване. Вариант G: тригонометрични тъждества. Пример: граница на, дробна черта, синус от x делено на синус от 2 по х, край на дробта, за х клонящо към 0, което може да се представи като, начало на дробна черта, 1 делено на 2 по косинус от х, край на дробта, за х клонящо към 0, като се използват тригонометричните формули. При вариантите от E до G, опитай да изчислиш границата в новия ѝ вид, като се върнеш обратно в стъпка A, директно заместване. Последен вариант H, приблизително изчисляване: когато всички други варианти са неприложими, може да се определи границата приблизително въз основа на графиката на функцията или таблични данни за нейните стойности.

Ключова стъпка 1: Директното заместване винаги е първият метод. Използвай други методи, само когато то се провали: иначе може да изхабиш повече усилия от нужното. Например ще бъде излишна работа да разлагаш израз до по-проста форма, ако директното заместване ще свърши работа и без разлагането.

Ключова стъпка 2: Има голяма разлика в това да получиш

b / 0

0 / 0

(където

b \neq 0

). Когато получиш

b / 0

, това означава, че границата не съществува и вероятно не е дефинирана (асимптота). За сравнение, когато получиш

0 / 0

това означава, че нямаш достатъчно информация, да определиш дали границата съществува, което се нарича неопределена форма. Ако случаят е такъв, то имаш да свършиш повече работа, като в този случай се прилага долната половина на схемата за намиране на граници.

Забележка: има мощен метод за намиране на граници, наречен Правило на Лопитал, което ще научиш по-късно. То не се разглежда тук, защото още не сме учили за производни.

Упражнявай се с директно заместване

Задача 1

g (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 5} - 3}

Искаме да намерим

lim_{x \to 4} g (x)

Какво се получава, когато приложим директно заместване?

Задача 2

h (x) = \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}

Искаме да намерим

lim_{x \to 0} h (x)

Какво се получава, когато приложим директно заместване?

Упражнявай се с неопределената форма

Задача 3

Джъстин опитал да намери

lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}

Чрез директно заместване той получил

\frac{0}{0}

Кой метод би бил подходящ за следващата стъпка на Джъстин?

(Избор А)
Разлагане на множители и опростяване
(Избор Б)
Рационализиране чрез спрегнати двучлени
(Избор В)
Алтернативни форми на тригонометрични функции

Задача 4

Катерина се опита да намери

lim_{x \to - 3} \frac{\sqrt{4 x + 28} - 4}{x + 3}

Чрез директно заместване тя получи

\frac{0}{0}

Кой метод би бил подходящ за следващата стъпка на Катерина?

(Избор А)
Разлагане на множители и опростяване
(Избор Б)
Рационализиране чрез спрегнати двучлени
(Избор В)
Алтернативни форми на тригонометрични функции

Да сглобим общата картина

Задача 5

Учителят на Джил ѝ дава долната диаграма и я моли да намери границата

lim_{x \to 5} f (x)

, където

f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25}

Размести картите по-долу, за да покажеш последователността от стъпки за намиране на тази граница.

А. Директно заместване

B. Асимптота

C. Границата е намерена

D. Неопределена форма

Е. Разлагане на множители

F. Използване на спрегнати двучлени

G. Тригонометрични тъждества

H. Приближение

Задача 6

Учителят на Фенян му дава долната диаграма и иска от него да намери границата

lim_{x \to 3} f (x)

, където

f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 5} - 1}{x - 3}

Размести картите по-долу, за да покажеш последователността от стъпки за намиране на тази граница.

А. Директно заместване

B. Асимптота

C. Границата е намерена

D. Неопределена форма

Е. Разлагане на множители

F. Използване на спрегнати двучлени

G. Тригонометрични тъждества

H. Приближение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.