If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:31

Видео транскрипция

С много видеа и упражнения обяснихме различни техники за намиране на граници. Но понякога е полезно да имаме цялостна стратегия, с която да определим правилната техника за случая. С това ще се занимаем в това видео. Тук имаме една диаграма, създадена от екипа на Кан Академия. Тук просто ще я обясня. На пръв поглед изглежда сложно, но се надявам да стане ясна, когато преминем през нея. Нашата цел е да намерим границата на f(x), когато х клони към а. Диаграмата ни казва най-напред да опитаме да заместим с х = а. Да изчислим f(a). Диаграмата казва, това е зелената стрелка, че ако f(a) е реално число, то сме готови. Но има и малка уловка: вероятно сме готови. Причината е, че границата е различно понятие от стойността на функцията. Понякога са еднакви: това е и определението на непрекъсната функция, за което говорихме в някои предишни уроци, но друг път са различни. Това не е задължително да е вярно, ако си имаме работа с функция, която има точка на прекъсване, например така, или прекъсване от първи род, или функция, която изглежда така. Това са някои изключения. Но ако в нашата точка, при която търсим границата, когато се доближаваме към нея, функцията е непрекъсната, то границата е с нормално поведение. Това е добре да се помни. Може да си кажеш: не мога ли просто да изчисля функцията в тази точка? Ако си имаш работа с тривиални функции, като например х², с подобни рационални изрази или тригонометрични изрази и ако успееш да изчислиш функцията и се получи реално число, то вероятно ще бъде решението. Но ако имаш някаква функция, която има различни случаи и е частично определена, както видяхме в предишни видеа, на твое място ще съм много скептичен. Или ако виждаш на графиката, че около тази точка има някакъв скок или прекъсване, ще трябва да внимаваш повече. Но като цяло, това е добро правило. За тривиални функции, които са непрекъснати, ако ги изчислиш за х=а и получиш реално число, това число вероятно ще е границата. Но аз винаги мисля и за други сценарии. Какво ще се случи, ако я изчислиш и получиш някакво число, делено на нула? В този случай вероятно имаш вертикална асимптота. Какво имам предвид с това? Виж този пример. Тук имаме тази граница, ще използвам по-тъмен цвят. Ако говорим за границата, когато х клони към 1, на 1/(х – 1), щом опитаме да изчислим този израз за х = 1 ще получим 1 върху 1 – 1, което е равно на 1 върху 0. Ето тук има ситуация, в жълто на диаграмата, когато се сблъскваме с вертикална асимптота. На този етап, за да разбереш какво се случва или дори да докажеш че има вертикална асимптота, можеш да опиташ да заместиш с няколко числа, да начертаеш графиката и да установиш, че имаш вертикална асимптота при х=1. Ето я моята вертикална асимптота. Можеш да потърсиш някои точки. Да видим. Ако х е по-голямо от 1, знаменателят ще е положителен. На графиката е тук. Ще я получиш, като изчислиш няколко точки. Тя може да изглежда така. И после, за стойностите на х, по-малки от 1, получаваме отрицателни числа. И графиката ще изглежда по ето такъв начин, докато достигне тази вертикална асимптота. Вероятно имаме нещо такова. Но има и някои много специални случаи. Там не е задължително да имаме вертикална асимптота. Един такъв пример е функция от типа на у=1/(х – х). Тази функция всъщност е неопределена за всяка стойност. Затова в нейния случай, няма да имаме вертикална асимптота. Но това е изключение. По-често наистина имаме вертикална асимптота тук. Но ако не сме в нито една от тези ситуации? Какво става, ако изчислим функцията и получим 0/0? На диаграмата е отбелязано с червено. Например границата при х, клонящо към –1 на този рационален израз. Да го изчислим. Имаме (–1)², което е 1, минус (–1), което е +1, минус 2. В числителя получихме 0. А в знаменателя имаме (–1)², което е 1, минус 2 по (–1), значи +2, минус 3, което е равно на 0. Това е познато още като неопределена форма. На диаграмата продължаваме към дясната част, където има няколко техники за справяне с неопределената форма. Също така, вероятно съвсем скоро ще научиш друга техника, която използва повече математически анализ: тя се нарича Правило на Лопитал, но не я разглеждаме тук, тъй като тя използва висша математика, а всички техники тук могат да се извършат с изученото до момента. Някои използват алгебра, а други ­– тригонометрия. Първото нещо, което да опиташ, особено ако имаш рационален израз като този, след като получиш неопределената форма, е да го разложиш на множители. Опитай се да опростиш този израз. Даденият пример може да се разложи. Той е равен на (х – 2) по (х + 1) върху (х – 3) по (х + 1). Ако не ти е ясно какво направих току-що можеш да изгледаш уроците за разлагане на полиноми (многочлени) на множители или за разлагане на квадрати. И така, виждаш, че мога да направя това опростяване, стига х да е различно от –1. Тези два множителя ще се унищожат. Мога да кажа, че това е равно на (х – 2) върху (х – 3) за х, различно от –1. Понякога последното уточнение се забравя, но то е нужно, за да сме прецизни математически. Тези два израза са еднакви, защото горният израз също не е дефиниран за х = –1. Но вече можем да заместим с х = –1 тук и да получим стойност. Като положим с х = –1, макар формално това да е изключено от математическата еквивалентност, ще стане –1 минус 2, което е равно на –3, върху –1 – 3, което е –4. Цялото е равно на 3/4. Ако нямахме това условие, можеше директно да изчислим и да получим лесна функция. Нямаше да очакваме нищо сложно. Но вече мога да заместя с х = –1 и да получа добър резултат. Той е реално число. Ще повторя стъпките: разлагане на множители, после опростяване, изчисляване на получения израз и получаване на стойност. Получихме 3/4. Което е реално число, значи границата е много вероятно да е равна на 3/4. Сега да подредим видяното до момента. Дотук бяха повечето упражнения за граници, които ще срещнеш. Следват две малко по-рядко срещани техники. Ако получиш неопределена форма и имаш корени в израза, както този пример, рационални изрази с корен: тогава можеш да умножиш по спрегнатото му. В нашия пример в синьо, ако просто изчислиш за х = 4, ще получиш корен от 4 минус 2 върху 4 – 4, което е 0 / 0. Това е неопределена форма. Техниката, която ще изполваме с този корен в рационалния израз цели да се отървем от корена и да опростим израза. Ще преобразувам израза корен от х – 2 върху х –4. Ще умножа по спрегнатото на числителя: корен от х + 2, също и в знаменателя. И отново, това е същият израз, не променям неговата стойност. Какво получавам? Имам (а + b) по (а – b) и ще получа разлика от квадрати. Ще стане корен от х на квадрат, което е... ще оставя корен от х на квадрат минус 4 върху х – 4... е, в числителя всъщност е просто х – 4. Ще го преобразувам така. Това е (х – 4) върху (х – 4) по корен от х + 2. Това преобразуване се оказа полезно, вече мога да унищожа х – 4 от числителя и от знаменателя. Тук също, ако искам да имам математически еквивалентен израз, трябва да уточня: той ще е равен на 1 върху корен от х + 2, когато х е различно от 4, но тук търсим граница и х се стреми към 4, затова вече можем да заместим с х = 4 в този опростен израз. И така, това ще стане 1 върху, като извършим заместване с х = 4 ето тук, ще получим 1 върху корен от 4, плюс 2. Това е равно на 1/4. И пак има голяма вероятност това да бъде нашата граница. На диаграмата отидохме в зелената зона. Ако начертаем границата на първоначалната функция, ще видим отстранимо прекъсване. Ще има дупка при х = 4. Но когато опростим и унищожим общия множител х – 4, дупката ще изчезне. Това направихме всъщност. Търсим границата, когато х клони към тази дупка в графиката. И накрая, последната техника. Тя използва тригонометрични тъждества. За да я използваш, трябва добре да познаваш тригонометричните тъждества. Дадена ни е примерна граница. Ще я разпиша в по-тъмен цвят. Ако имаме границата при х, клонящо към 0, на синус от х върху синус от 2х: синус от нула е нула, и долу е синус от нула, получаваме 0/0. Като получиш неопределена форма, попадаш в тази категория, и виждаш, че това ще е равно на границата при х, клонящо към 0, на синус от х... Като преобразуваме синус от 2х като 2 по синус х по косинус х. Двата синуса се съкращават за х различно от 0, за да сме математически точни. Виждаме, че тук определено има прекъсване на първоначалната графика. Ако начертаем у равно на това, ще я видим. Но за целите на намиране на границата, можем да игнорираме прекъсването, и да кажем, че тази граница ще е равна на границата при х, клонящо към 0 на 1 върху 2 косинус от х. Сега можем да се върнем към зелената стрелка, защото можем да изчислим, като заместим с х=0. Това ще е 1 върху 2 по косинус от 0. Косинус от 0 е 1. Ще получим 1/2 за границата. В общия случай, тези техники работят и ще срещнеш и някои други техники по-нататък във висшата математика. Ами ако никоя не сработи? Приближение. Можеш да направиш числено приближение, опитай със стойности, които са много близки до числото, за което търсиш границата. Ако търсиш границата при х, клонящо към 0, опитай дори с 0,00000000001. Опитай и с минус 0,0000001. Ако търсиш граница за х, клонящо към 4, опитай с числа като 4,0000001 и също и 3,99999999. Виж какво ще получиш. Но това е само в краен случай, ако нищо друго не сработи.