Граници чрез рационализиране

Да опитаме да намерим тази граница при х, клонящо към –1 на функцията х + 1 върху корен от (х + 5) минус 2. Първата ни реакция може да е да използваме свойствата на границите и да го разпишем като границата при х, клонящо към –1, на х + 1 върху границата при х, клонящо към –1, на корен от (х + 5) минус 2. Сега да разгледаме израза в числителя: х + 1, неговата графика е правата у = х + 1 и тя е непрекъсната навсякъде, специално за х = –1, този израз затова за намиране на границата е достатъчно да изчислим за х = –1. Числителят ще е равен на –1 + 1. Знаменателят, който е корен от (х + 5) минус 2, не е непрекъснат навсякъде. Но е непрекъснат поне за х = –1. Затова можем да направим същото. Можем да заместим х с –1 в него и да получим корен от –1 + 5 минус 2. На колко е равно това? В числителя имаме 0, а в знаменателя –1 + 5 е 4, корен от него е 2, минус 2, отново става нула. В крайна сметка получихме 0, делено на нула. Да не те отчайва това, че в знаменателя има нула. Дали границата не съществува? Дали няма как да продължим? Ако числителят беше различен от нула, ако имахме ненулево число и го разделим на нула, това наистина щеше да е неопределеност. И границата нямаше да съществува. Но когато имаме нула делено на нула, това е неопределена форма, това не значи задължително границата да не съществува, и както ще видим в това видео и в много следващи примери, ние имаме нужните инструменти да се справим с това. И ще ги разгледаме. Сега ще използваме друг начин да преобразуваме този израз, за да намерим границата му, без да получаваме 0 / 0. Нека го преобразуваме. Започваме от този израз, чиято граница търсим: да го наречем g(x). Нашата задача е да намерим границата на g(x) за х, клонящо към –1. Можем да разпишем g(x) отделно. Единствената причина да използвам g(x), е за да е по-ясно, че мисля за функция и да работя с нея. После ще помисля за подобни функции. Знаменателят е корен от х + 5 минус 2. Цялото е х + 1 върху корен от х + 5 минус 2. Сега ще използваме техниката за намиране на граница от неопределена форма, която има корен квадратен в числителя или в знаменателя си. Може да помогне да се отървем от този корен, което често се нарича рационализиране на израза. В този случай квадратният корен е в знаменателя, затова ще направим рационализиране на знаменателя. За да направим това, ще използваме знанията си за разлика от квадрати. Знаем, че ( a + b ) по ( a – b) е равно на а на квадрат минус b на квадрат. Това се изучава по алгебра. А когато имаме корен от a плюс b и умножим това по корен от а минус b получаваме корен от а на квадрат, което е просто а, минус b на квадрат. Можем да използваме тази идея, за да премахнем корена от нашия знаменател. Ще го направим, като умножим числителя и знаменателя по корен от (х + 5) плюс 2, нали? Долу имаме това минус 2. значи ще умножаваме с това плюс 2. Да го направим. Тук имаме корен от (х + 5) плюс 2 и ще умножим и числителя по същото, за да не променяме стойността на целия израз. Тук става 1. Когато умножаваме по това, разделено по същото, е все едно по 1. Значи тук става корен от (х + 5) плюс 2 и цялото е равно на x + 1 по корен от х + 5 плюс 2, а в знаменателя имаме корен от х + 5 на квадрат, което е просто х + 5, минус 2 на квадрат, което е 4, значи знаменателят се опростява до х + 5 – 4, или просто х + 1. Значи той става просто х + 1. Може би забелязваш, че и в числителя, и в знаменателя има х + 1 и можем да опростим нашата функция: g(x) е равна на корен от (х + 5) плюс 2. Ако нещо тук те притеснява, то правилно надушваш нещо гнило. Шестото ни чувство пита дали това определено е равносилно на израза, който имахме преди съкращаването на х + 1? Така, както съм го написал, те не са напълно еднакви. По-точно, еднакви са навсякъде, освен в точката за х = –1. Този израз е определен за х = –1, докато предишният – не е. За х = –1 функцията g(x), която имаме тук, не е определена. За да бъде вторият израз еквивалентен на g(x), за да имам същата функция, трябва да уточня, че става въпрос за стойностите на х, различни от –1. Това сега наистина е опростена версия на g(x). Вече са еднакви. За всяко число х, за което е определена g(x), резултатът от двете ще е еднакъв, след като вече сложихме това ограничение, за да е като g(x). Сега, да видим как ни помага това? Тъй като ни интересува границата за х, клонящо към –1, сме добре с това ограничение тук, че х не може да е равно на –1. Как да мислим за тази граница? За наш късмет ни е известно, че ако вземем друга функция, f(x), и f(x) е равно на корен от (х + 5) плюс 2, то знаем, че f(x) e равна на g(x) за всички стойности на х, различни от –1, тъй като f(x) няма това ограничение. Ако знаем, че това е вярно за две функции, то границата за х, клонящо към –1, нека го напиша, тъй като знаем това, то знаем, че границата на f(x) при х, клонящо към –1, е равна на границата на g(x) при х, клонящо към –1. Това е всъщност нашето търсено, каквото имахме в началото на задачата, но вече можем да използваме f(x), защото само за х = –1 те не са еднакви, и ако начертаем графиката на g(x) ще видим, че тя има прекъснатост само в една точка, и то отстранима точка на прекъсване: мога да го нарека точково прекъсване ето тук, при х = –1. Е, на колко е равна границата? Вече сме на финала на тази задача. Колко е границата на f(x)? Можем да намерим границата на корен от (х + 5) плюс 2 при х, клонящо към –1: този израз вече е непрекъснат за х = –1. Затова можем просто да го изчислим за х = –1, това е корен от (–1 + 5) плюс 2, или корен от 4, което е 2, 2 плюс 2 е 4. И тъй като намерихме границата на f(x) при х, клонящо към –1, тя е равна на 4, то границата на g(x) при х, клонящо към –1 също е равна на 4. Ако все още не разбираш напълно тази стъпка, която направих тук, то опитай да си я представиш визуално. Помисли чрез графиката. Ако това е оста у, а това е оста х, g(x) изглежда някак така. Нашата функция g(x), нека я начертая, изглежда горе-долу така, тук има прекъсване в точката х = –1, това е точка на прекъсване, докато f(x) има същата графика, но без това прекъсване. Ако се опитваш да намериш границата, изглежда разумно да използваш f(x), за да изчислиш стойността на f(x) в тази точка при х = –1. Надявам се това графично обяснение да е помогнало, но ако те е объркало, просто го игнорирай.