Намери границите на рационални функции, които съдържат функциите синус и косинус, при аргумент, клонящ към безкрайност

Сега да потърсим границата на х² + 1 върху синус от х, когато х клони към бекрайност. най-напред да помислим какво се случва с числителя, а след това и със знаменателя. В числителя имаме х² + 1. Когато х става все по-голямо, докато се доближава до безкрайност, тук ще го повдигаме на квадрат и числителят ще се увеличава още по-бързо. И така, числителят ще се стреми към бекрайност, когато х клони към безкрайност. Какво се случва със наменателя? Синус от х ни е познато. Знаем отпреди, че синус и косинус са ограничени, те се движат нагоре и надолу като вълна. Колебаят се между стойностите –1 и 1, затова –1 ще е по-малко или равно на синус от х, което е по-малко или равно на 1. И така, знаменателят ни ще се колебае. Какво ни казва това? Може да се изкушим и да направим извода, че щом числителят е неограничен и расте към безкрайност, а знаменателят се колебае между тези две стойности, вероятно целият израз ще се стреми към безкрайност. Но трябва да внимаваме, защото знаменателят заема както положителни, така и отрицателни стойности. И така, докато числителят става все по-голям в положителна посока, той е разделен понякога на положително, а понякога на отрицателно число. Ще имаме скокове между положителни и отрицателни стойности на целия израз. Освен това, постоянно ще се сблъскваме с асимптоти, когато синус от х става равно на нула. Тогава имаме вертикални асимптоти. В тях изразът ще е неопределен. И така, имаме множество вертикални асимптоти, стойността се колебае между положителна и отрицателна с все по-големи абсолютни стойности. Следователно тази граница не съществува. И записвам извода: границата не съществува. Можем да се убедим и чрез графиката. Току-що описахме с думи разсъжденията си върху израза, но можем да ги видим нагледно, като погледнем графиката му. Ето я тук. Виждаме как, когато х се увеличава към плюс безкрайност, то стойността на израза ту става много голяма, после среща вертикална асимптота, след която отскача надолу и отива надалеч в отрицателна посока, после пак нагоре и пак надолу... амплитудите стават все по-големи и по-големи, като постоянно имаме вертикални асимптоти през равни интервали. Очевидно е, че тази граница не съществува.