Граници при безкрайност на частни с квадратни корени (четна степен)

Нека намерим границата при х, клонящо към безкрайност на частното: корен от (4х⁴ - х) върху 2х² + 3. Както винаги, остави видеото на пауза и първо опитай самостоятелно. И така, винаги, когато търсиш граници при плюс или минус безкрайност на подобни рационални изрази, е полезно да разгледаме старшите членове на числителя и на знаменателя. Интересуват ни и двата. Ще вземем само най-големите степени, на които е повдигнато х в числителя и в знаменателя. По този начин можем да получим константи и останалото освен тях да клони към 0, когато х клони към плюс или минус безкрайност. Така намираме границата. Нека разделим числителя на x², това значи да го умножим по 1/x²; същото ще направим и със знаменателя. Може би се чудиш защо избрахме втора степен, нали горе имаме x⁴, което е по-висока степен от 2? Не забравяй квадратния корен. Погледнато от много високо виждаме, че x⁴ се намира под радикал и ще вземем квадратен корен от целия този израз, затова четвъртата степен ще стане втора. Затова най-високата степен в числителя е втора. Затова ще разделим числителя и знаменателя на x². Като извършим това деление ще получим еквивалентния израз: границата при х, клонящо към минус безкрайност на израза, който ще разпиша отстрани. Умножих отгоре и отдолу по 1 / x² и сега ще го разпиша. Тук имам 1 / x² по квадратен корен от 4 по x⁴ минус х, това е изразът от числителя. Това е равно на 1 върху корен квадратен от x⁴ по корен квадратен от 4 по x⁴ минус х. И така, това е равно на корен квадратен от 4 по x⁴ минус х делено на x⁴, и ще го опростя още... За тази стъпка внесох всичко под корена. Можем да представим частното на тези два корена като корен от частно. Използваме само правилата за степенуване, за да получим последния израз под знака за корен квадратен. Това пък е равно на 4 минус, х върху x⁴ е 1/x³. Това отива в числителя: корен квадратен от 4 минус 1/x³. А сега, на какво ще е равен знаменателят? Е, като разделим 2x² на x² ни остава само числото 2. Имаме и плюс 3, значи плюс 3/x². Какво става с границата, когато х клони към минус безкрайност? Когато се доближаваме до минус безкрайност, тези дроби ще се стремят към нула. Имаме 1 върху числа, които стават все по-големи по абсолютна стойност, тяхната големина се увеличава и дробите намаляват до 0. Тази дроб отдолу също се стреми към 0, защото делим на все по-големи и по-големи числа. От всичко това остава корен квадратен от 4 върху 2, което е равно на 2/2, равно на 1. И сме готови.