Основно съдържание
Диференциално смятане
Курс: Диференциално смятане > Раздел 1
Урок 15: Граници, когато променливата клони към безкрайност- Въведение в границите, клонящи към безкрайност
- Функции с еднакви граници при безкрайност
- Граници в безкрайност: графично решение
- Граници при безкрайност на частни от функции (част 1)
- Граници при безкрайност на частни от функции (част 2)
- Граници в безкрайност на частно
- Граници при безкрайност на частни с квадратни корени (нечетна степен)
- Граници при безкрайност на частни с квадратни корени (четна степен)
- Граници при безкрайност на частни с квадратни корени
- Определяне границите на частни, съдържащи тригонометрични функции, при аргумент, клонящ към безкрайност (недефинирани граници)
- Намери границите на рационални функции, които съдържат функциите синус и косинус, при аргумент, клонящ към безкрайност
- Определяне границите на частни, съдържащи тригонометрични функции, при аргумент, клонящ към безкрайност (недефинирани граници)
- Определяне границите на разлика от функции, при аргумент, клонящ към безкрайност
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Граници при безкрайност на частни с квадратни корени (нечетна степен)
Сам намира границите при плюс и минус безкрайност на x/√(x²+1). Тъй като най-голямата степен е нечетна (1), границите при плюс и минус безкрайност са различни. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Имаме функцията
f(x) = x върху корен квадратен от (x²+1). Искам да помислим за границата
на f(x), когато х клони към плюс безкрайност и за границата на f(x),
когато х клони към минус безкрайност. Нека помислим какви
могат да бъдат. Ще направя това по по-интуитивен,
не толкова подробен начин. По-точно, ще помислим до какво
се доближава функцията, когато х става все по-голямо. В този случай х расте все повече
в положителна посока. Абсолютната стойност на х
все става много голяма, когато отива и към плюс, и към минус безкрайност. В числителя имаме само 1 член,
това е членът х. А в знаменателя имаме два члена
под знака за корен квадратен. Когато х отива към безкрайност
в едната от двете посоки, Тук отдолу ще доминира
членът х². Представи си, че х е 1 милион
и тук ще е милион на квадрат плюс 1. Стойността на знаменателя
ще зависи от члена х². Затова границата е приблизително
х върху корен от х². Този член 1 тук не е от значение
при много големи х. Така полученото приближение е равно на х върху, тук повдигам х на кварат
и после прилагам корен квадратен, запомни, че корен квадратен
винаги е положителен, ще получа абсолютната стойност на х. Това ще е равно на х върху
абсолютната стойност на х, когато х клони към +/- безкрайност. Друг начин да определим тези граници е като кажем, че за х
клонящо към безкрайност, това ще е равно на границата на х
върху абсолютната стойност на х. За положителни стойности на х
абсолютната стойност на х е равна на х. Тук ще имаме х/х или просто 1. Аналогично за границата при х,
клонящо към минус безкрайност, тук ще е границата на х / |х|. Запомни, че правя това твърдение
единствено защото f(x) и този израз стават много подобни,
приближават се едно до друго, когато х става много, много голямо число,
независимо положително или отрицателно. За отрицателните числа
абсолютната стойност на х пак е положителна и х очевидно е отрицателно,
затова получаваме -1. Сега можем да начертаем
графиката на функцията. Да опитаме. Ето тук е оста у и оста х, и видяхме, че имаме
2 хоризонтални асимптоти. Едната е при у=1. Нека това тук да бъде у = 1. Ще я начертая с пунктир. Функцията ще се доближава до нея. Другата хоризонтална асимптота
е за у = –1. Ето тук ще дойде правата у = –1. За да имаме една точка от графиката,
да помислим колко е f(0). f(0) е равно на 0 върху корен от
(0 на квадрат + 1). Това е равно на 0. Значи тази точка тук
е от графиката. Знаем, че когато х клони към безкрайност,
функцията се стреми към синята асимптота. Може да изглежда някак така. Ще опитам пак... Изтривам първия опит...
Графиката може да е такава. Исках да използвам друг цвят. Ето така. Доближаваме се все повече
до асимптотата, когато х расте. А когато х намалява до минус безкрайност,
се доближаваме до другата асимптота. Не го начертах съвсем добре. Това е нашата графика на y = f(x). Можеш да потвърдиш това,
като изчислиш още точки с калкулатора или използваш програма
за чертаене на графики. При всички положения се справихме
с още една ситуация за граница към безкрайност. Тук определихме
хоризонталните асимптоти. Запомни най-важното:
да разбереш кои членове доминират, когато абсолютната стойност на х
става все по-голяма. Така ще намериш хоризонталните асимптоти,
към които се стреми функцията в положителната и в отрицателната
посока.