If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 1

Урок 1: Граници на функции: въведение
Математика
Диференциално смятане
Граници и непрекъснатост
Граници на функции: въведение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Граници на функции: въведение

Класна стая на Google
Границите описват поведението на дадена функция близо до някаква точка, а не в самата точка. Това несложно, но важно понятие, лежи в основата на целия математически анализ.
Да разгледаме един пример, за да разберем какво представляват границите на функции. Започваме с функцията f(x)=x+2.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига нагоре през точките (2;4) и (4; 6), след което завършва в точка (7;9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
Границата на f за x=3 е тази стойност, до която f се доближава, когато аргументът става все по-близък до x=3. На графиката това е стойността на y, до която се доближаваме, когато проследим графиката на f и се доближим все повече до точката, в която x=3.
Например, ако започнем от точката (1;3) и се придвижим по графиката, докато доближим съвсем до x=3, то нашата стойност на y (т.е. стойността на функцията) ще се доближи съвсем до числото 5.
Дадена е анимирана графика на функцията f. Подвижна точка се движи между точка (1; 3) и точка (2,99; 4,99).
Създадено с Geogebra.
Аналогично като започнем от точката (5;7) и се придвижим наляво, докато доближим съвсем близо до x=3, то стойността на y отново ще се доближава съвсем близо до 5.
Дадена е анимирана графика на функцията f. Подвижна точка се движи по правата между точките (5; 7) и (3,01; 5,01).
Създадено с Geogebra.
Поради това казваме, че границата на функцията f в x=3 е 5.
Върху графиката на функцията f има стрелки по протежение на правата, сочещи горе вдясно и долу вляво съответно, към точка (3; 5).
Може да попиташ каква е разликата между границата на f за x=3 и самата стойност на f за x=3, т.е. f(3).
В нашия случай границата на f(x)=x+2 при x=3 е равна на f(3), но невинаги става така. За да го разбереш по-лесно, разгледай функцията g. Тази функция се различава от f единствено по това, че е неопределена в точката x=3.
Дадена е графиката на функцията g. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига нагоре през точка (2;4) и отворена окръжност в точка (3; 5), след което завършва в точка (7;9).
Също като при f, границата на g при x=3 е 5. Това е така, защото тук също можем да се приближим много близо до x=3 и стойностите на функцията ще се приближат много близо до 5.
Върху графиката на функцията g има стрелки по протежение на правата, сочещи горе вдясно и долу вляво съответно, към отворена окръжност в точка (3; 5).
Значи границата на g при x=3 е равна на 5, но стойността на g при x=3 е неопределена! Те не са едно и също!
В това е красотата на границите: те не зависят от стойностите на самата функция при границата. Те описват поведението на функцията, когато тя се доближава до граничната стойност.
Задача 1
Това е графиката на h.
Кое е добро приближение на границата на h при x=3?
Избери един отговор:

Използваме специални обозначения за границите. Ето така записваме границата на f за x, клонящо към 3:
"границата на…""…функцията f…"↘↙limx→3f(x)↗"…за x клонящо към 3."
Знакът lim означава, че търсим границата на нещо.
Изразът вдясно от lim е изразът, чиято граница търсим. В нашия случай това е функцията f.
Изразът x→3 под lim означава, че търсим границата на f, когато стойностите на x клонят към 3.
Задача 2
Това е графиката на f.
Кое е добро приближение на limx→6f(x) ?
Избери един отговор:

Задача 3
Кой израз представлява границата на x2 при x, клонящо към 5?
Избери един отговор:

Чрез границите се приближаваме безкрайно близко.

Какво имаме предвид под „безкрайно близко“? Да видим стойностите на f(x)=x+2, когато стойностите на x се приближават много близо до 3. (Не забравяй: тъй като се занимаваме с граници, не ни интересува самата стойност на f(3) тук).
xf(x)
2,94,9
2,994,99
2,999⏟доближава 34,999⏟доближава 5
Виждаме, че когато стойностите на аргумента x, които са по-малки от 3, се доближават до 3, стойностите на функцията f стават все по-близки до 5.
xf(x)
3,15,1
3,015,01
3,001⏟доближава 35,001⏟доближава 5
Виждаме също, че когато стойностите на x, които са по-големи от 3, се доближават до него, f става все по-близка до 5.
Забележи, че се приближихме най-близо до 5 при f(2,999)=4,999 и f(3,001)=5,001, които са на 0,001 единици от 5.
Ако искаме, можем да се приближим и още повече. Например, ако искаме да сме на 0,00001 единици от 5, ще изберем x=3,00001 и тогава ще имаме f(3,00001)=5,00001.
Това може да продължава безкрайно. Винаги можем да се приближим още по-близо до 5. Но всъщност точно това означава „безкрайно близко“! Тъй като в реалността не е възможно да отидем „безкрайно близко“, то чрез limx→3f(x)=5 обозначаваме, че колкото и близо да сме до 5, винаги има по-близка стойност на x до 3, която да ни отведе още по-близо.
Ако ти е трудно да разбереш това, може би следното сравнение ще помогне: откъде знаем, че броят на целите числа е безкраен? Не сме ги преброили всичките, за да стигнем до безкрайност. Ние знаем, че те са безкраен брой, защото за всяко цяло число винаги съществува по-голямо от него цяло число. След това винаги има още едно, и още едно...
При границите е подобно, но вместо за безкрайно големи числа, мислим за безкрайно близки числа до нещо. Чрез limx→3f(x)=5 обозначаваме, че винаги можем да се приближим още по-близко до 5.
Задача 4
xg(x)
−7,16,32
−7,016,1
−7,0016,03
−6,9996,03
−6,996,1
−6,96,32
Кое е добро приблилжение на limx→−7g(x)?
Избери един отговор:

Още един пример: limx→2x2

Нека да анализираме limx→2x2, което е границата на израза x2, когато x клони към 2.
Дадена е графиката на функцията y = x на квадрат. Оста х е разграфена от минус 4 до 6. Графиката представлява крива. Тя е парабола, която започва от точка (минус 3; 9), спуска се през точките (минус 1; 1) до (0; 0), издига се през точка (1; 1) и завършва в точка (3; 9).
Виждаме, че колкото по-близо сме до точката x=2 на графиката, толкова стойностите на y са по-близо до 4.
Графиката на функцията y = x на квадрат е анимирана и има подвижна точка, която се издига по крива от точка (1,5; 2,25) до (1,99; 3,96) и после се спуска по кривата от точка (2,5; 6,25) до (2,01; 4,04).
Създадено с Geogebra.
Можем да разгледаме и таблица със стойности:
xx2
1,93,61
1,993,9601
1,999⏟доближава 23,996001⏟доближава 4
xx2
2,14,41
2,014,0401
2,001⏟доближава 24,004001⏟доближава 4
Виждаме също как можем да се доближим максимално близко до 4. Да предположим, че искаме да сме на по-малко от 0,001 единици от 4. Коя стойност на x, близка до x=2, можем да изберем?
Да опитаме с x=2,001:
2,0012=4,004001
Това е на повече от 0,001 единици от 4. Да опитаме с по-близка стойност, например с x=2,0001:
2,00012=4,00040001
Това вече е достатъчно близо! Като опитваме със стойности на x, които са все по-близки до x=2, можем да се приближим още повече до 4.
В заключение limx→2x2=4.

Границата трябва да е еднаква от двете страни.

Като се върнем към f(x)=x+2 и limx→3f(x), виждаме как все повече се доближаваме до 5, независимо дали стойностите на xсе увеличават към 3 (това означава да „клони отляво“) или намаляват към 3 (това означава да „клони отдясно“).
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява права, която започва от точка (0; 2) и се издига през точките (2;4) и (4; 6). Стрелка, която сочи нагоре към правата в точката (3; 5) представя приближаване отляво. Стрелка, която сочи надолу към правата към точка (3; 5) представлява приближаване отдясно.
Сега вземи за пример функцията h. Стойността на y, към която се доближаваме, когато стойностите на x приближават x=3, зависи от това дали се приближаваме отляво или отдясно.
Дадена е графиката на функцията h. Оста х е разграфена от 0 до 9. Графиката представлява 2 прави. Първата права започва от точка (0; 1), издига се нагоре и завършва в отворена окръжност в точка (3; 4). Втората права започва от отворена окръжност в точка (3; 6), издига се и завършва в точка (6; 9).
Когато приближаваме x=3 отляво, функцията доближава 4. Когато приближаваме x=3 отдясно, функцията доближава 6.
На графиката на функцията h има стрелка, която представя приближаване отляво, която сочи надясно по протежение на първата права към отворена окръжност в точка (3; 4). Друга стрелка, представяща приближаване отдясно, сочи надолу и наляво към втората права към затворена окръжност в точка (3; 6).
Когато една граница доближава различни стойности от двете страни, казваме, че тази граница не съществува.
Задача 5
Това е графиката на функцията g.
Кои от границите съществуват?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.