Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Решен пример: точка, в която функцията е непрекъсната

Сал намира границата на една частично определена функция в точката между два нейни клона. В този случай двете едностранни граници са равни, затова границата съществува.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Функцията g(x) е дефинирана като log 3x, когато х е в интервала (0;3) и като (4 – х) * log 9, когато х е по-голямо или равно на 3. Като имаме това определение за g(x) искаме да намерим границата на g(x) за х, клонящо към 3: тази стойност е точно на прехода между двата случая, дадени в определението. Имаме първия случай, когато х е между 0 и 3: когато е по-голямо от 0 и по-малко от 3, а когато стане равно на 3 отиваме в другия случай. За да намерим границата, трябва да потърсим лявата граница на функцията, при която попадаме в първия случай, защото там х е по-малко от 3, а също и да намерим дясната граница, която ще ни постави във втория случай. Ако и двете едностранни граници съществуват, и освен това ако са равни, то това ще е търсената граница. Ще започна с лявата граница. Търсим границата на g(x), когато х доближава 3 откъм стойностите, по-малки от 3. Това е същото, като да кажем, че това е границата за х, клонящо към 3 от отрицателната посока. Когато х е по-малко от 3, какъвто е случаят тук, ние се доближаваме до 3 отляво и се намираме в първия случай на дефиницията. Значи ще извършим това действие. Така ще намерим стойност на функцията за х<3. Имаме логаритъм от 3х. Тъй като функцията е дефинирана и непрекъсната за нужния ни интервал: дефиницията ѝ е непрекъсната за всички х, по-големи от 0; то просто можем да заместим х с 3, за да видим границата. Това е равно на log от 3 по 3, което е логаритъм от 9. Тъй като не е уточнена основата на логаритъма, то се предполага, че той е десетичен. Значи основата му е 10. Това е добре да се знае, защото понякога се пропуска. И така, да помислим и за другия случай. Да разгледаме ситуацията, при която се доближаваме до 3 отдясно, откъм по-големите от 3 числа. Тук вече ще сме във втория случай. Дясната граница ще е равна на границата при х, клонящо към 3 от положителната посока или отдясно на g(x) в този му случай за х>=3: значи на 4 – х по логаритъм от 9. Това изглежда като логаритмичен израз на пръв поглед, докато осъзнаеш, че log9 е просто константа, десетичен логаритъм от 9. Тя ще е някакво число, доста близко до 1. Този израз всъщност може да се начертае като права. В случая за х>=3, g(x) e просто една права линия, която изглежда сложно. Това всъщност е определено за всички реални числа, а също е и непрекъснато за всяка стойност на х. За да намерим тази граница, нека помислим към какво се доближава този израз, когато х клони към 3 от положителната посока. Можем просто да заместим директно с х=3. Това ще е равно на 4 – 3, или 1, по логаритъм от 9. Това е равно на десетичния логаритъм от 9. Получихме, че лявата и дясната граници са равни. И двете са равни на log 9, значи отговорът е логаритъм от 9. И сме готови.