Отстраними точки на прекъсване (рационализиране)

Нека f е функцията, зададена чрез следното частично определение: f(x) = корен от х + 4, минус 3, цялото върху (х – 5), когато х е различно от 5 и f(x) = c, когато х = 5. Пита се, ако f е непрекъсната за х = 5, то на колко е равно c? Това, че функцията е непрекъсната за х = 5, означава, че границата на f(x) за х, клонящо към 5, е равна на f(5). Това е по определението за непрекъснатост. Дадено ни е, че f(5) = с: за х = 5 стойността на функцията е равна на с, значи тези трябва да са равни на с. Разбрахме, че всъщност търсим границата на f(x), когато х клони към 5. Ако просто опитаме да заместим с х = 5 в този израз горе, ще получим в числителя 5 + 4, което е 9, и има квадратен корен 3, тук коренът е равен на 3, 3 минус 3 е нула. Получихме 0 в числителя. В знаменателя имаме 5 – 5, което също е нула. Получихме неопределения израз 0/0. В бъдеще ще изучим начини да продължим да търсим такива граници, в които се среща неопределената форма 0/0. Такъв начин е правилото на Лопитал. Но сега можем да се справим и без него, с малко алгебрични преобразувания. За целта ще се опитам да се отърва от радикала в числителя. Да го преобразувам. Имам корен квадратен от х + 4, минус 3, цялото върху (х – 5). Винаги, когато видиш корен плюс или минус нещо друго, можеш да се отървеш от корена, като умножиш по спрегнатото: в случая имаме корен минус 3, умножаваме по този корен плюс 3. В тази ситуация просто умножаваме числителя по корен от х + 4, плюс 3, също и знаменателя. Като умножим и горе, и долу по едно и също нещо, няма да променим стойността на израза. Ако тук имаме израз от типа а + 3, умножаваме по а – 3. Тази техника се изучава по алгебра, за да се рационализират знаменатели, но може да се използва и за числителя. По подобен начин премахваме комплексни числа, обикновено от знаменателите. Но ако разгледаш израза, както те приканвам, ще забележиш един принцип, познат от часовете по алгебра. Това е разлика от квадрати. Нещо минус друго по първото плюс второто. Получава се квадратът на първото нещо, в случая е квадратът на корена: х + 4; и второто нещо на квадрат, който изваждаме: минус 3 на квадрат, значи вадим 9. В знаменателя остава х – 5 по корен от х + 4 плюс 3. Изразът се опрости, макар да не изглежда по-прост. Но поне вече нямаме корен в числителя. Просто преобразувахме, за да видим дали можем да заместим с х = 5 или някак да опростим израза, за да намерим границата. Нека опростим числителя, получаваме х + 4 – 9, което е равно на х – 5, а долу имаме (х – 5) по корена от х + 4, плюс 3. Вече виждаме, че и числителят и знаменателят се делят на х – 5. И така, можем да имаме напълно идентичен израз, ако уточним, че са еднакви. можем да разделим горе и долу на х – 5, ако уточним, че х ще е различно от 5. Изразът ще стане 1 върху корен от х + 4 плюс 3, за х различно от 5. Това е добре, защото първата част на дефиницията на нашата функция е за х различно от 5. Така можем директно да сменим дефиницията с този опростен израз: 1 върху корен от х + 4, плюс 3. Сега за границата при х, клонящо към 5, когато се доближаваме все повече до 5. Получаваме стойности на х, все по-блики до 5, но не достигаме 5. Можем да използваме получения израз. Границата на f(x) при х, клонящо към 5 е равна на границата на 1 върху корен от (х+4) плюс 3, когато х клони към 5. Сега можем да заместим тук с х = 5. Става 1 върху корен от 5 + 4, което е 9, коренът е 3, 3 + 3 е 6. Получихме 1/6 за граница на функцията при х, клонящо към 5, която е равна на f(5). Искаме да е непрекъсната за х = 5. Значи с е равно на 1/6.