Определяне на границата на (1-cos(x))/x при x клонящо към 0

В това видео искаме да намерим каква е границата при х, клонящо към 0, на 1 – cosx върху х. Ще приемем, че знаем нещо предварително. Ще приемем, че границата при х, клонящо към 0, на sinx върху х е равна на 1. Ще докажа отново това в това видео, но имаме друго цяло видео, отдадено на доказването на тази известна граница. Правим го, използвайки теоремата за двамата полицаи. Да видим дали ще можем да го направим. Първо нещо, което ще направим, е алгебрично да преобразуваме този израз. Сега ще умножа числителя и знаменателя по 1 + cosx. В знаменателя трябва да направя същото нещо. 1 + cosx. Не променям стойността на израза. Просто умножавам по 1. Какво ни помага това? Мога да запиша цялото нещо като стойността при х, клонящо към 0... (1 – cosx) по (1 + cosx), това ще бъде... Ще го направя с друг цвят. Това ще е 1 на квадрат, което е просто 1, минус cos квадрат х. Имаме разлика на квадрати. После в знаменателя ще имаме това, което е просто х по 1 + cosx. На колко е равно 1 – cos квадрат х? Това идва от основното тригонометрично тъждество (питагоровата теорема). Това е същото нещо като sin квадрат х. sin квадрат х. Мога да запиша всичко това като равно на границата при х, клонящо към 0... Нека запиша това като... Вместо sin квадрат х, това е същото като sinx по sinx. Нека го запиша по този начин. sinx по sinx. Ще взема първия sinx, ще взема този тук и ще го поставя върху този х. sinx върху х по втория sinx, този, върху 1 + cosx по sinx върху 1 + cosx. Просто използвах основното тригонометрично тъждество и направих малко алгебрични преобразувания. Тук границата на произведението на тези два израза ще бъде същото нещо като произведението на границите. Мога да запиша това като равно на границата при х, клонящо към 0, на sinx върху х по границата при х, клонящо към 0, на sinx върху 1 + cosx. Казахме, че в това видео ще приемем, че знаем колко е това. Доказвали сме го в други видеа. Каква е границата при х, клонящо към 0, на sinx върху х? Тя е равна на 1. Цялата тази граница ще зависи от това. Това е доста лесно. Когато х клони към 0, числителят ще клони към 0, т.е. sin от 0 е 0. Знаменателят клони... cos от 0 е 1. Следователно знаменателят клони към 2. Това клони към 0 върху 2, което е просто 0. Това клони към 0. 1 върху 0, което ще бъде равно просто на 0. И сме готови. Използвайки този факт и малко тригонометрични свойства, и малко алгебрични преобразувания, успяхме да покажем, че първоначалната ни граница, границата при х, клонящо на 0, на 1 – cosx върху х е равна на 0. Насърчавам те да го начертаеш. Ще видиш, че е логично от графична гледна точка също.