Граница на sin(x)/x, когато x клони към 0

В това видео предстои да докажем, че границата при θ (тита), клонящо към 0, на синус от θ върху θ, е равна на 1. Да започнем с това геометрично или тригонометрично построение тук. Този бяла окръжност е единичната окръжност, ще я отбележа така. Нейният радиус е 1, това е единична окръжност. Какво представлява тук розовата отсечка? Височината ѝ е у координатата на пресечната точка на този радиус и окръжността. По определението с единична окръжност на тригонометричните функции, тази отсечка има дължина синус от θ. Ако искаме да сме сигурни, че това работи и за ъгли в четвърти квадрант, което ще е полезно, можем да използваме просто абсолютната стойност на синус от θ. Ами тази отсечка в синьо? Мога ли да я изразя чрез тригонометрична функция? Да помислим за това. Колко е тангенс от θ? Ще го запиша тук. Тангенс от θ е равно на срещулежащия върху прилежащия катет. Ако погледнем по-големия триъгълник тук, това е нашият ъгъл θ в радиани. Това е срещулежащият му катет. А тук долу е прилежащият, с дължина 1. Не забравяй, че това е единична окръжност. Затова тази отсечка има дължина едно, значи тангенс от θ е равно на срещулежащия катет. Синята отсечка е равна на тангенс от θ. И отново, това винаги е положително число. Когато сме в първи квадрант е така, но трябва да сме сигурни, че е така и в четвърти. За нуждите на нашето доказателство просто ще взема абсолютната стойност. Вече съм готов и мога да помисля за някои триъгълници и техните площи. Първо ще начертая един триъгълник в този сегмент, приличащ на парче торта в окръжността. Построявам този триъгълник. Да помислим за площта на щрихования триъгълник. Как да изразя тази площ? Все пак, това е триъгълник. Знаем, че площта на един триъгълник е 1/2 основата по височината. Знаем, че височината е абсолютната стойност на синус от θ. За основата знаем, че е равна на 1. Значи площта е равна на 1/2 по основата, която е 1, по височината, която е абсолютната стойност на синус от θ. Ще го напиша ето тук. Абсолютната стойност на синус от θ, върху 2. Сега да помислим за площта на този сектор, обозначавам го в жълто. На колко е равен този отрязък от окръжността? Ако обиколя по цялата окръжност, това ще са 2π радиана, значи отрязъкът е θ върху 2π от целия кръг. Знаем площта на кръга: Тъй като окръжността е единична, радиусът ѝ е 1. Като умножаваме по площта на кръга, това значи по π по радиуса на квадрат, радиусът е 1, значи умножаваме само по π. Площта на този сектор накрая излезе равна на θ върху 2. Искаме това да важи и за ъгли в четвърти квадрант, затова взимаме абслютната стойност, тъй като площта е положително число. Сега да помислим за по-големия триъгълник тук в синьо, той е лесен. Площта тук е 1/2 по основата по височината. Подчертавам, търся площта на този триъгълник. Тя е 1/2 от основата, която е 1, по височината, която е абсолютната стойност на тангенс от θ. Мога да го запиша като абсолютната стойност на тангенс от θ, върху 2. Сега можем да сравним площите на розовия триъгълник, който се намира в сегмента, с площта на самия сегмент и с тази на по-големия триъгълник. Ясно е, че площта на розовия триъгълник е по-малка или равна на площта на сегмента, а площта на сегмента е по-малка или равна на площта на големия син триъгълник. Този сегмент включва розовия триъгълник плюс ето тази площ тук, а синият триъгълник включва сегмента плюс ето тази площ. Графиката потвърждава, че това неравенство е вярно и сега ще направя малко алгебрични преобразувания. Ще умножа всичко по 2, за да получа, че абсолютната стойност на синус от θ е по-малко или равно на абсолютната стойност на θ, което е по-малко или равно на абсолютната стойност на тангенс от θ. Мога да предствя абсолютната стойност на тангенс от θ като абсолютната стойност на синус от θ върху абсолютната стойност на косинус от θ. Това е същото като абсолютната стойност на тангенс от θ. Причината да направя това е, че сега можем да разделим всичко на абсолютната стойност на синус от θ. Тъй като делим на положителна величина, това няма да промени посоката на неравенствата. Нека го направим. Ще разделя това на абсолютната стойност на синус от θ. Ще разделя и това на същото, а после и това. Какво получавам? Тук получавам 1, а отдясно имам 1 върху абсолютната стойност на косинус от θ. Тези двете се унищожават. Следващата стъпка е да взема реципрочния на всеки от изразите. Когато взимам реципрочното от всичко, това обръща неравенствата. Реципрочното на 1 също е 1. Но вече неговото реципрочно е по-голямо или равно на абсолютната стойност на синус от θ върху абсолютната стойност на θ. Това от своя страна е по-голямо или равно на реципрочното на 1 върху абсолютната стойност на косинус от θ, което е равно на абсолютната стойност на косинус от θ. Интересуват ни само първи и четвърти квадрант. Можем да си представим, че θ клони към 0 от тази посока или от тази посока, това са първи и четвърти квадрант. Ако сме в първи квадрант, θ е положително число и синус от θ също е положително. А ако сме в четвърти квадрант θ е отрицателно и синус от θ ще има същия знак, също ще е отрицателно. Така уточняването на абсолютната стойност не е необходимо. В първи квадрант и синус от θ и θ са положителни, а в четвърти квадрант и двете са отрицателни, значи тяхното частно е все положително число, затова премахвам модулите. Ако сме в първи или в четвърти квадрант, стойността на х е неотрицателна, затова косинус от θ, което е х координатата в нашата единична окръжност, няма да е отрицателно, затова и тук не се нуждаем от абсолютната стойност. Сега можем да поспрем малко, защото сме почти готови. Току-що изведохме три функции. Може да разглеждаш това като f(x) равно на, по-точно f(θ) равно на 1, g(θ) равно на това в оранжево и h(θ) равно на това в синьо. Интервалът, който ни интересува, е от –π/2 по-малко от θ, по-малко от π/2 В този интервал, това неравенство е вярно за всяко θ, за което тези функции са определени. Синус от θ е определена за този интервал, освен за θ = 0. Но тъй като е определена навсякъде другаде, то вече можем да намерим границата. Като използваме теоремата за двамата полицаи, щом това е вярно за целия интервал, то значи и следното е вярно... и това вече решава задачата... границата при θ, клонящо към 0, на това е по-голяма или равна на границата при θ, клонящо към 0 на втория израз, това е нашата граница, на синус от θ върху θ, и тя е по-голяма или равна на границата при θ, клонящо към 0 на третия израз. Първата граница очевидно е равна на 1. Втората е търсената граница, а колко е третата, границата при θ, клонящо към 0 на косинус от θ? Знаем, че косинус от 0 е 1 и че тази функция е непрекъсната, значи и тази граница е 1. Сега да видим. Нашата граница е по-малка или равна на 1 и също е по-голяма или равна на 1. Значи може само да е равна на 1. И сме готови.