Решен пример: линейно решение на диференциално уравнение

Нека да свикнем малко повече с това какво всъщност е едно диференциално уравнение. Тук имаме едно диференциално уравнение. Още не сме започнали да намираме решения за диференциални уравнения. Но нека просто кажем, че видиш това, и някой се приближи до теб на улицата и каже: "Хей, аз ще ти дам подсказка, че има решение на това диференциално уравнение, което по същество е линейна функция, където у е равно на mx плюс b, и просто трябва да разберем кои са стойностите на m и b, които правят тази линейна функция да удовлетворява това диференциално уравнение." Това, което сега ти препоръчвам да направиш, е да паузираш видеото и да видиш дали можеш да го направиш самостоятелно. Предполагам, че вече опита. Предполагам, че вече опита. Така че нека да мислим заедно сега. Ако знаем, че този тип решения може да се опише по този начин, ние трябва да разберем за кои m и b е изпълнено. Това ни казва, че ако трябва да се вземат производните относно x, ако вземем производнaтa на mx плюс b относно х, трябва да бъде равна на минус 2 пъти х плюс 3 пъти у. Собре, ние знаем, че у е това нещо, минус 5. И това трябва да е вярно за всички х, за да може това да бъде решение на това диференциално уравнение. Не забравяй, че решението на диференциално уравнение не е стойност или набор от стойности, а функция или съвкупност от функции. Така че, за да може това да отговаря на това диференциално уравнение, трябва да е вярно за всички тези х тук. Нека да го разпишем. Нека първо да разберем какво е нашето dy dx. Така dy dx. Ние просто ще вземем производната относно х. dy dx е производната на mx относно х, което е просто m. И разбира се производната на b относно х. Понеже е само константа, производната ще бъде нула. Така dy dx e m. Така че ние може да запишем, че m е равно на минус 2x, е равно на минус 2x, плюс 3 пъти, и вместо да сложим у там Можем да напишем mx плюс b. Не забравяй, у е равно на mx плюс b. И за да напомня отново, това трябва да е вярно за всички х mx плюс b, и след това, разбира се, имаме минус 5. Така че, ако не можеш да го решиш първия път, препоръчвам ти да започнеш от тук и сега да разберем какви трябва да са m и b, за да може това уравнение тук да бъде вярно за всички x. За да може това да бъде вярно за всички х. Приемам, че паузира видеото. Нека просто продължим да преработваме това уравнение алгебрично. Ще премина към един цвят тук. Така, ние имаме m. m е равно на минус 2x плюс, ако разкрием скобите и умножим по 3, ние ще имаме 3mx плюс 3b, а след това, разбира се, ще имаме минус 5. И сега можем да групираме членовете, съдържащи х. Ако трябва да ги групираме... Нека да си намеря нов цвят, може би това синьо. Така, трябва да вземем тези двата и да ги съберем. Което ще е минус 2 плюс 3m по х, или бихме могли да напишем това като 3m минус 2х, и след това идва ред на константните членове, които са тук. 3b минус 5, и разбира се, че всичко ще бъде равно на m. Това ще бъде равно на m. Сега си спомни, че това трябва да бъде вярно за всички х. Забележи, че тук имаме някакви коефициенти по х от дясната страна на уравнението. Но от лявата страна нямам никакви х. Така че по някакъв начин това нещо трябва да изчезне. Това е константна, така че това е напълно нормално. Напълно разумно предположение е, че тази константа може да бъде равна на m. Но единственият начин, по който можем да накараме х да изчезне така че всичко, което да остане, да е m, е, ако това нещо е равно на нула. Позволи ми да кажа, че отново мисля, че това, което ще направя, е малко нелогично. Ние казваме, че m, някаква константна величина, е равна на някакъв коефициент по х, плюс друга константа. Е, за да може една постоянна стойност да бъде равна на коефициент по х плюс друга постоянна стойност, коефициентът пред х трябва да бъде равен на нула. Друг начин да се мисли за това е, можем да напишем лявата страна като 0х плюс m. Така че виждаш, че коефициентите трябва да си съответстват. Така нула трябва да е равно на 3m минус 2, и m е равно на 3b, m е равно на 3b – 5. m е равно на 3b минус 5. Така че нека да използваме тази информация, за да намерим m и b. Можем да използваме това. 3m минус 2 трябва да бъде равно на нула. Така, нека да запишем това. 3m минус 2 е равна на нула, или 3m е равно на 2, или m е равнo на 2/3. Така открихме колко е m. Нека използваме тази информация, защото ние знаем, че... ние знаем, че m е равно на 3b минус 5. m е 2/3, и получаваме 2/3 е равно на 3b минус 5. Бихме могли да добавим 5 и от двете страни, което е едно и също нещо като добавяне на 15/3 и от двете страни. Правилно ли го направих? Да, добавяне на 5 и от двете страни, е едно и също нещо като добавяне на 15/3 и от двете страни. Така че нека да направим това. 15/3 и 15/3 ще се унищожават. Там остава само 5. От лявата страна имаме 17/3 е равно на 3b, или ако разделим двете страни на 3, получаваме b е равно на 17, b е равно на 17/9, и сме готови. Ние току-що намерихме конкретно решение за това диференциално уравнение. Решението е у = 2/3 х + 17/9. И аз те насърчавам, след като изгледаш това видео, да провериш, че това конкретно решение наистина удовлетворява това диференциално уравнение за всички х. За всички х.