Точни уравнения пример 2

Да направим още няколко примера за обикновени диференциални уравнения. Използвам задачите от стр. 80 на стария ми учебник за диференциални уравнения от колежа. Той е Пето издание на Elementary Differential Equations от William Boyce и Richard DiPrima. Споменавам авторите, за да е ясно, че не аз съм измислил тези задачи. Използвам ги от техния учебник. И така, дадени са ни няколко уравнения. Задачата ни е да установим кои са ОДУ (обикновени диференциални уравнения) и ако са такива, да използваме знанията си за ОДУ, за да намерим решенията им. Първото уравнение е 2Х + 3 плюс (2Y -2), умножено по Y прим, е равно на 0. Това е нашето М от Х и Y, всъщност дори е функция само от Х, а това е нашето N, нали така? Първият израз е М, а вторият е N. Нека първо да проверим дали това уравнение е ОДУ, преди да говорим за Пси. Каква е частната производна на този израз спрямо Y? Търсим частната производна на М спрямо Y. М не съдържа променливата Y, значи тази производна е 0. Скоростта на промяна на израза М когато Y се променя, е нула. А с каква скорост се променя този израз спрямо промяната на Х? Това е частната производна на N спрямо Х. N не съдържа Х, нали? По отношение на Х това са само константи, значи частната производна е 0. Виждаме, че и двете частни производни са равни на 0. Частната производна на М спрямо Y е равна на частната производна на N спрямо Х. Значи имаме ОДУ. В този случай дори не е необходимо да използваме ОДУ, но ще го решим чрез тях, за да се упражняваме. Все пак, можеш да видиш, че това също е и диференциално уравнение с отделими променливи. Но то е и ОДУ. Като знаем това, значи имаме някаква функция Пси, като Пси е функция на Х и Y. Частната производна на Пси спрямо Х е равна на този израз, 2Х плюс 3. Означавам това като Пси със субфикс Х. А пък частната производна на Пси спрямо Y е равна на ето този израз, 2Y минус 2. И ако намерим функцията Пси, то ще знаем, че този израз е производната на Пси. Защото знаем, че производната спрямо Х на Пси е равна на частната производна на Пси спрямо Х плюс частната производна на Пси спрямо Y по производната на Y, Y прайм. Това е същата форма като това. Значи, ако намерим у, то ще можем да представим уравнението като dХ, производната на Пси спрямо Х, равно на 0. Ще сменя цвета за разнообразие. Ако намерим такова Пси, че неговата частна производна спрямо Х е този израз, а спрямо Y е вторият израз, то уравнението може да се преобразува като това. Как разбрахме? Защото производната на Пси спрямо Х, според верижното правило за частните производни, е равна на това. Частната му производна спрямо Х е равна на този израз. Частната производна спрямо Y пък е това, по Y прайм. Това е и смисълът на ОДУ. Но нека сега да намерим Пси. Преди това ще кажа, че щом производната на Пси спрямо Х е равна на 0, то ако интегрираме двете страни, ще получим решение на уравнението Пси равно на С. Като използваме тази информация, щом намерим Пси, ще знаем, че решението на диференциалното уравнение е Пси равно на С. Ако имаме някакви допълнителни условия, ще можем да намерим и С. И така, да намерим Пси. Ще интегрираме двете страни на това уравнение по отношение на Х. Получаваме Пси равно на Х на квадрат плюс 3Х плюс някаква функция от Y. Да я наречем Н(Y). Спомни си, че когато намираш примитивната функция, обикновено тук имаш просто произволна константа С тук, нали? Но можем да кажем, че тази е частна примитивна функция. Когато сме изчислили частната производна спрямо Х, сме загубили не само константите, заради които обикновено добавяме накрая С, ами сме загубили и всичко, което е функция само от Y, но не и от Х. За този пример ще пресметнем частната производна на това спрямо Х и ще получим този израз, нали така? Тъй като частната производна по отношение на Х на функция единствено от Y е равна на 0, то тази функция ще изчезне. Примитивната функция на този израз е това. Сега ще използваме тази информация. Частната производна на този израз спрямо Y трябва да е равна на това и тогава ще намерим H(Y) и ще сме готови. Да направим това. Частната производна на Пси спрямо Y ще бъде равна на... тук е 0, плюс 0, равно на 0. Тази част е функция единствено на Х. Нейната частна производна спрямо Y е винаги 0, тъй като това за Y са константи. Остава само производната на H(Y). Знаем, че Н прим от Y, което е частната производна на Пси спрямо Y, е равно на това. Значи Н прим от Y е равно на 2Y минус 2. После, за да намерим функцията Н от Y, интегрираме двете страни спрямо Y. Получаваме Y на квадрат минус 2Y. Тук можеше да имаме плюс С, но, както видя и в предишния пример, това С тук събираме с другата константа С, затова можем да го игнорираме засега. И така, каква е нашата функция Пси според намереното досега и като игнорираме константата С? Това е функцията Пси от Х и Y, равна на Х на квадрат плюс 3Х плюс Н от Y, което намерихме, че е равно на Y на квадрат минус 2Y. Знаем, че решение на даденото ни диференциално уравнение е Пси равно на С. Значи решението на диференциалното уравнение е това равно на С: Х на квадрат плюс 3Х плюс Y на квадрат минус 2Y равно на С. Ако разполагахме с допълнителни условия, можеше да го проверим. Приканвам те да го провериш в даденото уравнение, или да сметнеш производната на полученото Пси и да си докажеш, че от производната му спрямо Х можеш да получиш това диференциално уравнение. Нека да решим още един пример. Ще разчистя екрана. Колкото повече примери, толкова по-добре. Тук ни е дадено уравнението 2Х + 4Y плюс (2Х - 2Y) по Y прим е равно на 0. Каква е частната производна на този израз спрямо Y? Той е М, и неговата частна производна спрямо Y е... тук има 0, остава 4. А каква е частната производна спрямо Х само на тази част в скобите? Частната производна на N спрямо Х е 2. Това остава 0. Значи частната производна на М спрямо Y е различна от частната производна на N спрямо Х. Тогава уравнението не е ОДУ. Значи не можем да го решим по метода на ОДУ. Тази задача беше доста бърза. Да направим още една. Да видим. Времето ми свършва, затова ще избера някоя по-проста. 3х на квадрат... Всъщност, нека я решим в следващия урок. Не искам да прибързвам с тези неща. Ще просължим в следващото видео, до скоро!