Точни уравнения интуиция 1 (доказателство)

В този клип ще те запозная с обикновените диференциални уравнения. Това е още един метод за решаване на определен тип диференциални уравнения. Нека запиша това. Обикновени диференциални уравнения. Преди да ти покажа какво е обикновено диференциално уравнение, ще въведа някои от основните понятия, като по-късно ще изведем доказателство, а засега само ще разгледаме логиката, за да ни е познато. Да кажем, че имам функция на X и Y, ще я нарека Пси, защото този символ често се използва точно за обикновените диференциални уравнения. И така, Пси е функция на Х и Y. Може да не познаваш приложението на верижното правило за частни производни, но сега ще ти го покажа и ще можеш да го разбереш интуитивно, защото няма да го доказвам. Ако искам да намеря производната на Пси спрямо Х, където Y също е функция на Х, мога да запиша функцията Y, Съжалявам, поправям... Пси Мога да запиша Пси като функция от Х и Y, като Y също е функция от Х. Мога да го запиша така. Това са просто два различни начина да запишем едно и също. А сега искам да изчисля производната на Пси спрямо Х... това са само основните понятия... производната на Пси спрямо Х намираме... като използваме верижното правило за частни производни. Няма да доказвам това, искам само да разбереш как работи. Това ще е равно на частната производна на Пси спрямо Х плюс частната производна на Пси спрямо Y по dY/dX. Това трябва да е по-ясно. Намирам производната спрямо Х и тук, ако можехме да кажем, но не можем, защото тази производна е частна спрямо Y и тези две "де Y" (dY и ∂Y) са различни неща. Но ако тези две можеха да се унищожат, щяхме да получим още една частна производна спрямо Х. И ако искахме да ги съберем, щяхме да получим пълната производна спрямо Х. Това дори не е обяснение, а само демонстрация как дори такова нещо може да е логично. Сега да преминем към обяснението за Пси. Пси не е задължително да е в такъв вид, но може да използваш този метод за по-сложни записи на Пси. Но да го запишем само като Пси, без да уточняваме, че то е функция на Х и Y, защото вече знаем това. Нека то е равно на някаква функция на Х, да я наречем F1(Х), по друга функция от Y, която е G1(Y). Може да имаме няколко такива събираеми. Имаме N на брой такива членове, като последният е N-тата функция от Х по N-тата функция от Y. Определих Пси по този начин, за да ти стане ясно, че когато направя неявно диференциране на това, когато намеря неговата производна спрямо Х, всъщност ще получа нещо подобно на това. И така, каква е производната на Пси спрямо Х? Това е диференциране на неявна функция, което вече може да ти е познато от началото на математическия анализ. Ще приложим правилото за производна на произведение. Намираме производната на първия израз спрямо Х. Това е F1 прим от Х, умножено по втората функция, G1 от Х. Сега трябва да добавим производната на втората функция, умножена по първата функция. Значи плюс F1 от Х, това е първата функция, по производната на втората функция, това е функцията G1, нейната производна спрямо Y. Записвам го като G1 прим от Y. Прилагаме верижното правило, това е по dY/dX. Може да си припомниш уроците за диференциране на неявна функция, ако това не ти е съвсем ясно. Този израз, който току-що записах, е производната спрямо Х на първото събираемо. Имам N на брой такива събираеми. Значи трябва да добавим и техните производни, ще го направя надолу, тук имаме няколко такива израза, като последният изглежда по същия начин, но функциите са N-тите от х. Значи имам Fn прим от Х по функцията Gn от Y, плюс Fn от Х по производната на Gn спрямо Y, като производната на втората функция спрямо у е просто G прим от у по dY/dX. Това е приложение на верижното правило. Дописвам го. dy върху dx. Сега имаме две по N на брой членове. Имаме N на брой събираеми в Пси, тук горе, като всеки член е f(x) по g(y), по-точно f1(x) умножена по g1(y) и така нататък чак до fn(x) по gn(y). Сега след като сме диференцирали и приложили верижното правило, всеки от тези членове го има два пъти. Ако групираме членовете, ако групираме всички членове, които не съдържат dY/dX, какво ще получим? Ако ги отделим от лявата страна, като пренаредим, това ще стане равно на F1 прим от Х по G1(Y) плюс F2'(Х) пo G2(Y)... и така нататък чак до N-тите членове f'n(x) по gn(y). Това беше сборът на всички от членове от този вид, плюс сбора на останалите, на членовете с dY/dX. Тях ще запиша в друг цвят. Това са всички тези членове. Ще използвам различни скоби. Плюс F1 от Х по G1 прим от Y, a dY/dX ще оставя за после, защото ще го запиша след скобите. Тук имаме N такива събираеми. всички те са умножени по dY/dX. Това изглежда интересно. В началото дефинирахме Пси по такъв начин, тогава какво представлява този член в зелено? Тук взехме всички тези отделни членове, но зелените им съответни съдържат производната само спрямо Х на всеки от тези членове. Защото когато търсиш производната на това само спрямо Х, то функцията от Y е просто константа, нали? Това е, защото търсим само частна производна спрямо Х. За частната производна спрямо Х функцията от Y се разглежда като константа. Производната на това е просто F1 прим от X, умножено по функцията от Y, защото тя е константа спрямо Х. И така нататък до последния член. Събираемите в зелено може да се разглеждат като частна производна на Пси спрямо Х. Тук си представяхме, че Y е константа. По същата логика, ако игнорираш това и погледнеш само тази част, на какво прилича тя? Използваме това Пси и разглеждаме функциите от Х като константи, за да намерим частната производна спрямо Y. Затова функциите G са с прим. А после умножаваме по dY/dX. Ще запиша, че този израз в зеленото е всъщност частната производна на Пси спрямо Х. Какво представлява лилавият израз? Ще запазя цвета му и тук. Това тук е частната производна на Пси спрямо Y, а после имаме по dY/dX. Това исках да ти покажа с това видео, защото вече нямам много време. Верижното правило спрямо една от променливите, когато втората променлива също е функция на Х, се прилага по такъв начин, ако Пси е функция на Х и Y, и ако търся не частна, ами цялата производна на Пси спрямо Х, то тя ще е равна на частната производна на Пси спрямо Х плюс частната производна на Пси спрямо Y по dY/dX. Ако Y обаче не е функция на Х, ами е независима от Х променлива, тогава dY/dХ ще е равно на 0. Тогава този член ще е 0 и производната на Пси спрямо Х ще съвпада с частната производна на Пси спрямо Х. Това искам да разбереш. В това видео не го доказах, но се надявам да го обясних, така че да е ясно как става. Ще използваме това свойство в следващата серия уроци, за да разберем по-добре обикновените диференциални уравнения. Разбирам, че тук успях само да покажа понятията интуитивно. Още не съм ти казал какво е обикновено диференциално уравнение. Ще се видим в следващия урок.