If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:51

Видео транскрипция

В предишното видео показах използването на верижното правило с частни производни. Използвахме функция, обозначена с гръцката буква Пси, която е функция на Х и Y. Когато искам да намеря нейната производна, не частната, а цялата ѝ производна спрямо Х, тя ще е равна на частната производна на Пси спрямо Х плюс частната производна на Пси спрямо Y по dY/dX. В предишното видео не доказах това, но поне дадох представа как се случва. Може би по-късно ще покажа по-слидно доказателство, но можеш да намериш такова и в Интернет, като търсиш за верижно правило с частни производни. Засега да оставим това настрана и да разгледаме друго свойство на частните производни, а когато приключим с тях да преминем към обикновените диференциални уравнения. Така ще разбереш, че е доста лесно да се решават този тип уравнения, но да се разберат интуитивно е по-трудно... „трудно“ не е най-точната дума, защото веднъж като ги разбереш, става лесно. И така, имам тази функция Пси и първо пресмятам нейната частна производна спрямо Х. Ще запиша само Пси, не е нужно навсякъде да уточнявам аргументите Х и Y. После ще сметна нейната частна производна спрямо Y. Що се отнася до записа, ако разгледжаш това като умножение, може да се запише така: делта квадрат от Пси върху делта Y по делта Х. Същото може да се запише и по друг начин, който аз предпочитам, защото е по-чист и кратък: Казваме, че това е частната производна на Пси спрямо Х, и после спрямо Y. Това е една ситуация, която да си представим. Какво се случва, когато сметнем частна производна първо спрямо Х, а после спрямо Y? Когато тя е спрямо Х, третираме Y за константа, за да намерим първата частна производна. Игнорираме Y. А после пък третираме Х като константа, за да намерим частната производна спрямо Y. Какво ще е различното, ако сменим реда? Ще пробвам това в друг цвят. Ако търсим частната производна на Пси първо спрямо Y, а после и спрямо Х? Използвам и другите записи, за да свикнеш с тях. Това е частната производна първо на Х, после на Y. Може да е объркващо, защото макар тези два записа да означават еднакви неща, редът вътре в тях е обърнат. Той посочва различен начин на мислене. Това показва, първо е частната производна спрямо Х, после спрямо Y. Докато този запис разглежда по-скоро операторите, най-вътре е частната производна спрямо Х, а навън идва спрямо Y. И така, втората ни ситуация може да се запише като частната производна спрямо Y и после тази спрямо Х. Ще ти кажа отсега, че всяка от първите частни производни е непрекъсната, каквито са повечето от функциите с реални числа, стига да не са дефинирани с прекъсвания или някакви специални условия, обикновено са непрекъснати. Особено първите срещи с диференциали са обикновено с непрекъснати функции. Ако и двете частни първи производни, които имаме, са непрекъснати, тогава тези ще са равни помежду си. Значи Пси от XY ще е равно на Пси от YX. Вече можем да приложим знанията си за верижното правило с частни производни, за да решим даден тип диференциални уравнения от първи ред, наречени обикновени диференциални уравнения. Как изглежда едно такова обикновено диференциално уравнение? Изглежда така. Ще използвам различни цветове. Нека това е моето диференциално уравнение (ДУ). Имам някаква функция от X и Y. Тя е произволна, например х на квадрат по косинус от Y. Може и да е друго. Плюс друга функция от X и Y, нека я наречем N, по dY/dX равно на 0. Все още не знам дали това ДУ е обикновено ДУ, но когато видиш нещо в такъв вид, за какво ще се сетиш най-напред? Първо да провериш дали е с отделящи се променливи. Може да го преобразуваш, за да разбереш дали променливите му се отделят, това винаги е най-директният начин. Ако променливите не се отделят, но е възможно да приеме този вид, тогава се запитай дали е обикновено ДУ? Какво определя дали едно диференциално уравнение е обикновено? Ще видим веднага. Тази форма изглежда много подобна на ето тази форма. Да предположим, че М е частната производна на Пси спрямо Х. Тогава Пси спрямо Х ще е равно на М. Тук ще мога да заместя с Пси спрямо Х. Ами тук, това може да е Пси спрямо Y. Записвам, че Пси спрямо Y е равно на N. Какво ще стане? Това е предположение, не можем да сме сигурни. Ако видиш това някъде случайно, няма да знаеш, че това е частна прозводна спрямо Х на някаква функция, а другото е частна производна спрямо Y на друга функция. Но ние правим това предположение. Ако това е вярно, ще можем да запишем уравнението като частната производна на Пси спрямо Х плюс тази спрямо Y по dY/dX равно на 0. Изразът отляво е равносилен на този, нали? Това е производната на Пси спрямо Х, изразена чрез верижното правило с частни производни. Можем да я преобразуваме. Можем да запишем това като производната на Пси спрямо Х, вътре е функция на Х и Y, равно на нула. И така, като видиш диференциално уравнение с такъв вид, и не успееш да отделиш променливите му, то може би това е обикновено ДУ. И ако изученият допреди това материал е съдържал този тип, то най-вероятно уравнението е обикновено. Като видиш тази форма, може да се запиташ дали уравнението е обикновено. Ако се окаже, че е такова – и съвсем скоро ще ти покажа как да проверяваш това – тогава то може да се запише като производната на някаква функция Пси, където това е частната производна на Пси спрямо Х. Това е частната производна на Пси спрямо Y. После можеш да го запишеш така и да приложиш към двете страни тяхната примитивна функция, така ще получиш отговора, че Пси от Х и Y е равно на С. Може би се питаш две неща дотук. Вероятно ще кажеш, ОК, Сал, премина през Пси, частни производни и такива неща... но как да разбера, че това уравнение е обикновено ДУ? И после, ако наистина е такова, и имаме някаква функция Пси, то как да намеря функцията Пси? И така, може да разбереш, че уравнението е обикновено ДУ, като използваш тази информация. Знаем, че ако Пси и нейните производни са непрекъснати за дадено дефиниционно множество, то частната производна спрямо Х и после спрямо Y е същата, като в обратния ред: първо Y, после Х. И така, имаме тази частна производна спрямо Х, нали? А това е частната производна спрямо Y. И ако това уравнение е обикновено ДУ, ще можем да изчислим частната производна на това спрямо Y, нали така? Частната производна на Пси спрямо X е равна на М. Ако сметнем частната производна на това спрямо Y, това ще е равно на частната производна на N спрямо X, нали? Частната производна на Пси спрямо Y е равна на N. Като изчислим частна производна спрямо Х на двете страни, знаем, че тези двете ще бъдат равни, когато Пси и нейните частни производни са непрекъснати в множеството. Тогава тези също ще са равни. Това е проверката дали уравнението е обикновено ДУ. Нека запиша това отново и го обобщя. Ако видиш нещо, записано като M от XY плюс N от XY по dY/dX равно на 0, и намериш частната производна на М спрямо Y, a после и частната производна на N спрямо Х и те двете се окажат равни помежду си, тогава и само тогава това уравнение е обикновено диференциално уравнение. Може да се запише като ОДУ. И тъй като е обикновено, за него знаем, че съществува такава функция Пси, че производната на Пси за X, Y e равна на нула, също че Пси от X,Y равно на С е решение на това уравнение. И частната производна на Пси спрямо Х е равна на М. А частната производна на Пси спрямо Y е равна на N. В следващия урок ще ти покажа как да използваме това, за да намерим Пси. Искам да подчертая някои неща. Това е частната производна на Пси спрямо Х, но когато проверяваме дали уравнението е обикновено, ще сметнем тази спрямо Y, защото там пробваме със смесена производна. По подобен начин, на това място е частната производна на Пси спрямо Y, но при проверката вместо нея взимаме тази спрямо Х, за да получим смесена производна. Първо спрямо Y, а после спрямо Х, получаваме това. Може да изглежда малко сложно, но ако разбра всичко, което направих, то вече си наясно защо работи методът на решаване на обикновените диференциални уравнения. Ще се видим в следващия урок, където ще решим някои обикновени диференциални уравнения.