If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:16

Видео транскрипция

Много от това, което ще учиш за диференциалните уравнения, всъщност са различни фокуси от торбата на магьосника. В този урок ще ти покажа един такъв фокус. Той ще е полезен и за други приложения. Ще можеш да го използваш някой ден, ако се занимаваш с математика или физика професионално и имаш задача за решаване. Някои от фокусите, с които в обучението ти досега се решаваха по-лесни задачи, може да се окажат полезни и при решаването на нерешени още задачи. Полезно е да се знаят. Особено, ако ще решаваш диференциални уравнения на изпит, например. Добре е да имаш тези фокуси в джоба си. Сега ще научим фокуса с интегриращите множители. Например, дадено ни е уравнение от такъв вид: това е даденото диференциално уравнение. 3ХY плюс Y на квадрат плюс Х на квадрат плюс ХY по Y прим, равно на 0. Познато ни е от скорошните видеоуроци. Когато уравнението е от такъв вид, че има някаква функция от Х и Y и после има друга функция пак от Х и Y, умножена по производната на Y, равно на 0, то е вероятно това да е обикновено диференциално уравнение. Как да проверим дали наистина е така? Можем да изчислим частната производна на този израз спрямо Y. За улеснение ще обозначим първата функция от Х и Y с буквата М. Частната производна на М спрямо Y е равна на 3Х плюс 2Y, а втората функция, изразът във вторите скоби, ще обозначим с буквата N, което също е функция на Х и Y. Изчисляваме частната производна на N спрямо Х, тя е 2Х плюс Y. За да бъде това обикновено диференциално уравнение, то частната производна на М спрямо Y трябва да е равна на частната производна на N спрямо Х. Но двете получени стойности изглежда, че не са равни помежду си. Различни са. Поне на повърхността изглежда, че това уравнение не е обикновено диференциално уравнение. Но какво ще стане, ако намерим такъв множител, или такава функция, че като умножим двете страни по нея то това уравнение ще стане обикновено диференциално уравнение? Да наречем този множител Мю. Искам да умножа двете страни на това уравнение по неизвестната функция Мю, а после да намеря функцията Мю, която ще превърне уравнението в обикновено диференциално уравнение. Да го направим. Умножаваме двете страни по Мю. Сега ще опростим малко: Мю може да е функция от Х и Y; но би могла да е и функция само от Х, или функция само от Y. Нека приемем, че Мю е функция само от Х. А ти може да приемеш, че тя е функция само от Y, и да опиташ решението така. Или да приемеш, че има и двата аргумента Х и Y. Ще бъде много по-трудна за намиране, ако е функция и на Х, и на Y. Но няма да е невъзможно. Но засега да приемем, че Мю е функция от Х. Искам да умножа по нея двете страни на уравнението. Мю от Х по 3ХY плюс Y на квадрат плюс Мю от Х по Х на квадрат плюс ХY, умножено по Y прим. И накрая, колко е нула, умножено по произволна функция? Ще бъде просто нула, нали? Нула по Мю от Х става нула. Умножих и дясната страна на уравнението по Мю от Х. Не забравяй какво правим. Целта на това действие е след като умножим двете страни на уравнението по Мю от Х, да получим обикновено диференциално уравнение. Вече целият този израз става нашето ново М, неговата частна производна спрямо Y вече трябва да е равна на частната производна на втория израз спрямо Х. Колко е частната производна на това спрямо Y? Да я пресметнем тук. Мю от Х е функция само от Х и не съдържа Y, значи е константа спрямо Y, нали? Тук търсим частната производна спрямо Y, значи функцията само от Х Мю може да се разглежда като константа в този случай. Частната производна на този израз спрямо Y ще е равна на Мю от Х по 3Х плюс 2Y. Това е частната производна на М спрямо Y. А колко е частната производна на това спрямо Х? Тук ще използваме правилото за диференциране на произведение. Ще пресметнем производната на първия израз спрямо Х Вече Мю от Х не е константа, тъй като търсим частна производна спрямо Х. Производната на Мю от Х спрямо Х е Мю прим от Х, означаваме го така. Това е гръцката малка буква Мю. Не я бъркай с буквата М, тя започва с по-дълго ченгелче. Имаме Мю прим от Х по втория израз, Х на квадрат плюс ХY, плюс първия израз, който е Мю от Х, и по правилото за диференциране на произведение, умножен по производната на втория израз спрямо Х. Това е по 2Х плюс Y. Това се отнася за новото уравнение, което получих, като умножих по Мю двете страни на даденото уравнение. За да бъде то обикновено диференциално уравнение, последните два израза трябва да са равни. Това беше целта на фокуса: искахме да получим обикновено диференциално уравнение. Сега ще решим тази зависимост, за да намерим Мю. Да опитаме да го направим. От едната страна имаме Мю от Х по 3Х плюс 2Y. А сега да извадим този израз от двете страни на уравението. Става минус Мю от Х по 2Х плюс Y. Ще срещаш много подобни диференциални уравнения, стават доста подробни. Използва се много алгебра. Намерихме лявата страна, а какво има отдясно? Ще го запиша с жълто. Това е равно на... отварям си място... това е равно само на този член тук. Мю прим от Х по Х на квадрат плюс ХY. Като изведем пред скоби Мю от Х от лявата страна, получаваме Мю от Х по 3Х плюс 2Y минус 2Х минус Y равно на Мю прим от Х, това е производната на Мю спрямо Х, по Х на квадрат плюс ХY. Вече можем да опростим това. Получаваме Мю от Х по, 3Х минус 2Х прави Х, а 2Y минус Y става Y, значи по Х + Y, ще опростя малко и дясната страна, равно на Мю прим от Х, по Х, изнесено пред скоби, правя това, защото в скобите ще получа Х + Y. Отдясно стана Мю прим от Х по Х по Х+Y. Х по Х+Y е всъщност това Х на квадрат плюс ХY. Получих множителя Х+Y от двете страни на уравнението. Сега мога да разделя двете страни на Х+Y. За да направим това, трябва да предположим, че Х+Y е различно от 0. Това драстично опростява нещата. Получаваме Мю от Х равно на Мю прим от Х, умножено по Х. Сега искам да запиша този израз в диференциална форма, за да ми е по-лесно да работя с него: вместо Мю прим от Х ще запиша d Мю върху dX. Ето така. Мю от Х е равно на производната на Мю спрямо Х, умножена по Х. Това е диференциално уравнение с отделими променливи. Това малко диференциално уравнение ще ни помогне да решим по-голямото. Чрез него намираме интегриращия множител. Да разделим двете страни на Х. Получаваме Мю върху Х равно на d Мю върху dХ. После да разделим двете страни на Мю от Х: получаваме, че 1/Х е равно на 1 върху Мю, за по-просто ще записвам Мю вместо Мю от Х, умножено по d Мю върху dХ. Ще продължа на същия ред. Умножавам двете страни по dX, за да получа 1/Х по dХ равно на върху Мю по d Мю. Вече можем да интегрираме всяка от страните. Получава се натурален логаритъм от абсолютната стойност на Х равно на натурален логаритъм от абсолютната стойност на Мю. От това трябва да е ясно, че Х е равно на Мю или Мю е равно на Х, нали така? Те са равнозначни. Като заместиш в едната страна на това уравнение Х с Мю, ще се получи другата му страна. Очевидно това ни показва, че Мю от Х е равно на Х. Нашето Мю е равно на Х. Получихме интегриращия множител. Ако искаш, можеш да намериш примитивната функция на всяка от двете страни с натуралните логаритми. Ще получиш същия отговор. Но дори и само на пръв поглед разбираш, че Мю е равно на Х. Тъй като двете страни на уравнението имат напълно еднакъв вид. И така, намерихме интегриращия фактор. Но времето ми е на свършване. В следващото видео ще използаме намерения интегриращ фактор. Ще го умножим по даденото диференциално уравнение. Уравнението ще стане обикновено. После ще го решим като обикновено диференциално уравнение. Ще се видим в следващото видео.