Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:4:27

Решен пример: експоненциално решение на диференциално уравнение

Видео транскрипция

Имаме диференциалното уравнение производната на у за х е равна на 3 по у. Искаме да намерим конкретното му решение, при което у е равно на 2 за х=1. Приканвам те да оставиш видеото на пауза, за да опиташ да го намериш самостоятелно. И така, сега да го решим заедно. Тук може веднага да кажеш, че този вид диференциално уравнение има експоненциално решение. И това е правилно. Но аз няма веднага да премина към това, първо ще отбележа, че уравнението е с отделящи се променливи и ще го реша като такова. Като казвам, че променливите са отделими, това означава, че можем да отделим членовете с у и dy от едната страна, а тези с х и dх – от другата. И така, какво мога да правя? Да разделя двете страни на това уравнение на у и да ги умножа по dx, ще получа 1/у по dy равно на 3 по dx. Сега от лявата и от дясната страна имам тези чисти изрази, които мога да интегрирам. Това се има предвид под диференциално уравнение с отделящи се променливи. Сега, ако искам да запиша лявата страна в доста общ вид, мога да запиша, че примитивната функция на 1/у е равна на натурален логаритъм от абсолютната стойност на у. Взимам примитивната функция по отношение на у. Сега мога да добавя константа, но мога и да я пренеса от дясната страна. Няма причина да ползвам две произволни константи и от двете страни. Мога просто да добавя една само от едната страна. На какво е равна тази? Примитивната функция тук е 3 по х, и ще добавя и обещаната константа С. Ето тук. Сега да помислим малко. Мога да преобразувам това в експоненциален запис. Мога да запиша, че числото Е на степен 3х+С е равно на натуралния логаритъм от у. Записвам, че натуралният логаритъм от у е равен на E на степен (3х+С). Сега мога да преобразувам това в Е на степен 3х по Е на степен С. Забележи, че Е на степен С е друга произволна константа, която мога да означа също с С. Тя ще е с различна стойност, но тук търсим само логиката за структурата на този тип задачи. И така, тук имаме някаква константа, умножена по Е на степен 3х. Това е друг начин да си го представим. Абсолютната стойност на у е равна на това. Това само по себе си още не е функиция. Искаме да намерим функцията, което е решение на това диференциално уравнение. Но това ни казва, че у може да е равно на едното от двете: или С по Е на степен 3х, или на минус С по Е на степен 3х. Това пак е доста общо. Имаме произволна константа, не знаем колко е С. Какво можем да направим? Може да изберем този случай, за да намерим С, като предположим, че сме в този случай. Ще видим как да изпълним тези условия, като използваме това или другото, и се съобразяваме със знака пред израза. Да го направим. Имаме, че у е равно на 2. Ще намеря С, за да намеря конкретно решение. Условието е, че за х=1 у е равно на 2. Мога да го запиша така, получавам, че 2 е равно на С по Е на трета степен, защото 3 по 1 е 3. За да намеря С, просто разделям двете страни на Е на трета, мога да умножа двете страни по Е на степен –3, получавам 2 по Е на степен –3 равно на С. Сега да го заместим обратно и нашето конкретно решение ще се получи: у равно на С, което е 2 по Е на степен –3 по Е на степен 3 пъти х. Сега ще умножа тези две. Те са с еднаква основа. Мога да събера степените. Получавам у равно на 2 по Е на степен, събирам степените, 3х – 3. Това е. Това е един начин за записване на конкретното решение, което отговаря на тези критерии за това диференциално уравнение с отделими променливи.