Експоненциални модели и диференциални уравнения (част 1)

В това видео искам да представя моделирането на различни явления чрез диференциални уравнения. В това конкретно видео ще изучим математическото моделиране на популации. Математически модели на населението. Ще задълбаем по темата по-натам, но първо да започнем с по-прости модели. Както ще видим, ще се спрем на логиката на диференциалните уравнения. Те може да са познати от уроците по алгебра или математически анализ. До известна степен нашата работа тук ще е да ги преговорим, но чрез използване на силата на моделирането с диференциални уравнения. Нека първо дефинираме някои променливи. Да кажем, че Р е големината на дадената популация. А с t ще обозначим изминалото време в дни. Може да е в години или месеци, но избираме дни. В нашия случай популацията е на насекоми, които се размножават доста бързо. При тях няколко дни са адекватен интервал за изследване. как би изглеждал един разумен модел? Може да кажем, че скоростта на промяната на тази популация по отношение на времето е една разумна величина за изследване, тя ще е пропорционална големината на популацията. Защо е разумно да е така? Колкото по-голяма е популацията, толкова по-голяма ще е скоростта на нарастването ѝ за даден момент. Ако има хиляда души, раждаемостта при тях, както и за хиляда насекоми, скоростта на размножаване ще е по-голяма за секунда, за ден или година, отколкото ако бяха само 10 насекоми. Затова е логично, че скоростта на нарастване на популацията по отношение на времето ще е пропорционална на размера на самата популация. Понякога си представяме диференциалните уравнения като някакви сложни, абстрактни неща, но забележи как успяхме да изразим една не толкова сложна идея. Скоростта на промяна на популация е пропорционална на размера на популацията. След като сме изразили това, вече можем да опитаме да решим това диференциално уравнение. Първо ще изведем общо решение, а после ще потърсим известни състояния на популацията за начални условия, с които да намерим и константите, за да получим конкретни решения. Как да го направим? Приканвам те да оставиш видеото на пауза, за да опиташ да решиш това диференциално уравнение. И така, предполагам, че вече опита самостоятелно, и може би веднага разпознаваш, че това е диференциално уравнение с отделими променливи. Първо искаме да отделим едната променлива и всички нейни диференциали от едната страна, а другата променлива и диференциалите с нея да са от другата страна. После ще можем да интегрираме двете страни. Обръщам внимание, че dP, производната на Р спрямо t, не е съвсем дроб. Тя е границата на промяната в Р спрямо промяната във времето. Това е нашата моментна промяна, но за нуждите на диференциалните уравнения с отделими променливи, дори за общия случай на диференциално уравнение, можем да боравим с тази производна в записа ѝ като дроб (по Лайбниц), по същия начин, както се борави с дроб, а с диференциалите да се държим като с числени промениви, защото после ще ги интегрираме. Да започнем. Искаме да преместим всички членове с Р и с dP от едната страна, а всичко, в което има t, или по-скоро, в което няма Р, да отиде от другата. Можем да разделим двете страни на Р. Тогава ще получим 1 върху Р тук и 1 върху Р там. Тези двете се съкращават, а после можем да умножим двете страни по dt. Умножаваме ги. Тук използваме диференциала като числена стойност, каквато той не е, той не е число. Трябва да си го представяш като границата на промяната в Р върху промяната във времето. Това е границата, когато имаме все по-малка промяна във времето. Но тази употреба е практична тук, можем да го направим и ще получим уравнението 1 върху Р по dP равно на К по dt. Вече можем да интегрираме двете страни. Тъй като това диференциално уравнение е с отделими променливи, успяхме напълно да отделим членовете с P и dP от останалите членове, които не съдържат Р по никакъв начин. Като интегрираме тази страна, ще получим натурален логаритъм от абсолютната стойност на дадената популация плюс някаква константа, но тъй като и от другата страна ще имаме константа, можем да я прехвърлим там. Отдясно имаме К, става К по t плюс някаква константа. Произволна константа. Означавам я с С. Можех да сложа тук С две, но когато прехвърлим константите от едната страна, ще получа пак константа, и тя остава само тук. Как да намеря Р от тук? Натуралният логаритъм от абсолютната стойност на Р е равен на този израз отдясно. Тези двете са равносилни. Това означава, че абсолютната стойност на Р е равна на числото е на степен този израз. е на степен... ще запазя цветовете... kt плюс С едно. Това е еквивалентно на това, чрез свойствата на степените намираме, че това е равносилно на Е на степен kt по Е на степен С едно. Тук имам Е на степен константа, което също е константа, да я наречем С. Всичко това се опростява до С по Е на степен kt. Ако приемем условието, че размерът на популацията винаги е положително число, то можем да премахнем знака за абсолютна стойност и да получим общо решение на това, доста общо, диференциално уравнение. Имаме само пропорционална зависимост. Не сме уточнили константата на пропорционалност, но като приемем популацията за положително число, знаем, че тя е равна на някаква константа С по числото Е на степен kt. Вероятно това ти е познато от преди, защото това е просто показателна функция и е много вероятно в уроците по алгебра или математически анализ да сте моделирали явления чрез показателни функции. Възможно е даже да сте моделирали подобни неща, включително популация. Това е интересно, защото сега виждаш как се получава. Логиката, която е в основата на тези модели идва от диференциалното уравнение. Скоростта на промяна на популацията спрямо времето. Тя вероятно е пропорционална на размера на популацията. Сега ще приключим с това, а в следващия урок ще упражним нещо, което вероятно е познато от 10 или 11 клас, или вероятно от по-късно, няма значение кога. Ще разгледаме някои начални условия, за да намерим конкретно решение на уравнението.